עקוואַטיאָן פון די פלאַך: ווי צו קאַמפּאָוז? טייפּס פון פלאַך יקווייזשאַנז

די פלאַך פּלאַץ קענען זיין Defined אין פאַרשידענע וועגן (איין פּונקט און וועקטאָר, דער וועקטאָר און די צוויי ווייזט, דרייַ ווייזט, אאז"ו ו). עס איז מיט דעם אין מיינונג, די פלאַך יקווייזשאַן קענען האָבן פאַרשידענע טייפּס. אויך אונטער זיכער באדינגונגען פלאַך זאל זיין פּאַראַלעל, פּערפּענדיקולאַר, ינערסעקטינג, אאז"ו ו אויף דעם און וועט רעדן אין דעם אַרטיקל. מיר וועלן לערנען צו מאַכן די אַלגעמיינע יקווייזשאַן פון די פלאַך און ניט בלויז.

דער נאָרמאַל פאָרעם פון די יקווייזשאַן

רעכן ר איז די פּלאַץ _3, וואָס האט אַ רעקטאַנגגיאַלער קאָואָרדאַנאַט סיסטעם קסיז. מיר דעפינירן אַ וועקטאָר α, וואָס וועט זיין רעלעאַסעד פֿון די סטאַרטינג פונט אָו דורך די סוף פון דער וועקטאָר α ציען פלאַך פּ וואָס איז פּערפּענדיקולאַר צו עס.

דינאָוט פּ ביי אַ אַרבאַטרערי פונט ק = (X, י, ז). די ראַדיוס וועקטאָר פון די פונט ק צייכן בריוו פּ. די לענג פון דער וועקטאָר יקוואַלז α פּ = יαי און ʋ = (קאָסα, קאָסβ, קאָסγ).

דעם אַפּאַראַט וועקטאָר, וואָס איז דירעקטעד אין דער ריכטונג ווי וועקטאָר α. α, β און γ - זענען אַנגלעס אַז זענען געגרינדעט צווישן די וועקטאָר און די positive אינסטרוקציעס ʋ פּלאַץ אַקסעס רענטגענ, י, ז ריספּעקטיוולי. די פּרויעקציע פון אַ פונט אויף וועקטאָר קεפּ ʋ איז אַ קעסיידערדיק וואָס איז גלייַך צו ז '(פּ, ʋ) = פּ (ר≥0).

די אויבן יקווייזשאַן איז מעאַנינגפול ווען פּ = 0. דער בלויז N פלאַך אין דעם פאַל, וואָלט קרייַז פונט אָ (α = 0), וואָס איז די אָנהייב, און אַפּאַראַט וועקטאָר ʋ, רעלעאַסעד פֿון די פונט אָ וועט זיין פּערפּענדיקולאַר צו פּ, כאָטש זייַן ריכטונג, וואָס מיטל אַז דער וועקטאָר ʋ באשלאסן אַרויף צו דער צייכן. פֿריִערדיקע יקווייזשאַן איז אונדזער פלאַך פּ, אויסגעדריקט אין וועקטאָר פאָרעם. אבער אין מיינונג פון זייַן קאָואָרדאַנאַץ איז:

פּ איז גרעסער ווי אָדער גלייַך צו 0. מיר האָבן געפֿונען די פלאַך יקווייזשאַן אין נאָרמאַל פאָרעם.

דער גענעראַל יקווייזשאַן

אויב די יקווייזשאַן אין די קאָואָרדאַנאַץ מערן דורך קיין נומער אַז איז ניט גלייַך צו נול, מיר קריגן די יקווייזשאַן עקוויוואַלענט צו דעם אַז דעפינעס די זייער פלאַך. עס וועט האָבן די ווייַטערדיק פאָרעם:

דאָ, א, א, ב, C - איז די נומער פון סיימאַלטייניאַסלי פאַרשידענע פֿון נול. דעם יקווייזשאַן איז גערופֿן די יקווייזשאַן פון די אַלגעמיינע פאָרעם פון די פלאַך.

די יקווייזשאַנז פון די פּליינז. ספּעציעל קאַסעס

די יקווייזשאַן קענען בכלל זייַן modified מיט נאָך באדינגונגען. באַטראַכטן עטלעכע פון זיי.

יבערנעמען אַז די קאָעפפיסיענט א איז 0. דאס ינדיקייץ אַז די פלאַך פּאַראַלעל צו די פּרידיטערמינד אַקס אָקס. אין דעם פאַל, די פאָרעם פון די יקווייזשאַן ענדערונגען: ווו, + קז + ד = 0.

סימילאַרלי, די פאָרעם פון יקווייזשאַן און וועט בייַטן מיט די ווייַטערדיק באדינגונגען:

• ערשטער, אויב ב = 0, די יקווייזשאַן ענדערונגען צו האַק + קז + ד = 0, וואָס וואָלט אָנווייַזן די פּאַראַללעליסם צו דעם אַקס וי.
• צווייטנס, אויב C = 0, די יקווייזשאַן טורנס אין האַק + דורך + ד = 0, אַז איז צו זאָגן וועגן פּאַראַלעל צו די פּרידיטערמינד אַקס אָז.
• דריט, אויב די = 0, די יקווייזשאַן וועט דערשייַנען ווי האַק + דורך + קז = 0, וואָס וואָלט מיינען אַז די פלאַך ינטערסעקץ אָ (די אָנהייב).
• פערט, אויב א = ב = 0, די יקווייזשאַן ענדערונגען צו קז + ד = 0, וואָס וועט באַווייַזן צו פּאַראַללעליסם אָקסי.
• פינפט, אויב ב = C = 0, די יקווייזשאַן ווערט האַק + ד = 0, וואָס מיטל אַז די פלאַך איז פּאַראַלעל צו ויז.
• סיקסטהלי, אויב א = C = 0, די יקווייזשאַן נעמט די פאָרעם ווו + ד = 0, י.ע., וועט מעלדונג צו די פּאַראַללעליסם אָקסז.

פאָרעם פון די יקווייזשאַן אין סעגמאַנץ

אין די פאַל ווו נומערן א, ב, C, ד פאַרשידענע פֿון נול, דער פאָרעם פון יקווייזשאַן (0) זאל זיין ווי גייט:

רענטגענ / א + י / ב + ז / C = 1,

ווערין אַ = -D / א, ב = -D / ב, C = -D / סי

מיר באַקומען ווי אַ רעזולטאַט יקווייזשאַן פון די פלאַך אין ברעקלעך. עס זאָל זיין אנגעוויזן אַז דעם פלאַך וועט ינערסעקט די רענטגענ-אַקס ביי די פונט מיט קאָואָרדאַנאַץ (אַ, 0,0), וי - (0, ב, 0), און אָז - (0,0, ד).

געגעבן די יקווייזשאַן רענטגענ / א + י / ב + ז / C = 1, עס איז ניט שווער צו וויזשוואַלייז די פּלייסמאַנט פלאַך קאָרעוו צו אַ פּרידיטערמינד קאָואָרדאַנאַט סיסטעם.

די קאָואָרדאַנאַץ פון דער נאָרמאַל וועקטאָר

דער נאָרמאַל וועקטאָר N צו די פלאַך פּ האט קאָואָרדאַנאַץ, וואס זענען די קאָעפפיסיענץ פון דער גענעראַל יקווייזשאַן פון די פלאַך, י.ע. N (א, ב, C).

אין סדר צו באַשליסן די קאָואָרדאַנאַץ פון דער נאָרמאַל ן, עס איז גענוג צו וויסן דער גענעראַל יקווייזשאַן געגעבן פלאַך.

ווען ניצן די יקווייזשאַן אין סעגמאַנץ, וואָס האט די פאָרעם רענטגענ / א + י / ב + ז / C = 1, ווי ווען ניצן די גענעראַל יקווייזשאַן קענען ווערן געשריבן קאָואָרדאַנאַץ פון קיין נאָרמאַל וועקטאָר אַ געגעבן פלאַך: (1 / א + 1 / B + 1 / C).

עס זאָל זיין אנגעוויזן אַז דער נאָרמאַל וועקטאָר פון העלפּינג צו סאָלווע פאַרשידן פּראָבלעמס. די מערסט פּראָסט פּראָבלעמס זענען קאַנסיסטינג אין דערווייַז פּערפּענדיקולאַר אָדער פּאַראַלעל פּליינז, די אַרבעט פון דערגייונג די אַנגלעס צווישן די פּליינז אָדער די אַנגלעס צווישן די פּליינז און גלייַך שורות.

טיפּ לויט צו די פלאַך יקווייזשאַן און קאָואָרדאַנאַץ פון די פונט נאָרמאַל וועקטאָר

א נאָנזעראָ וועקטאָר ן, פּערפּענדיקולאַר צו אַ געגעבן פלאַך, גערופֿן נאָרמאַל (נאָרמאַל) צו אַ פּרידיטערמינד פלאַך.

רעכן אַז אין די קאָואָרדאַנאַט פּלאַץ (אַ רעקטאַנגגיאַלער קאָואָרדאַנאַט סיסטעם) אָקסיז שטעלן:

• מₒ פונט מיט קאָואָרדאַנאַץ (הₒ, וₒ, זₒ);
• נול וועקטאָר N = א * איך, + ב * דזש + C * ק.

איר דאַרפֿן צו מאַכן יקווייזשאַן פון די פלאַך אַז פּאַסיז דורך מₒ פונט פּערפּענדיקולאַר צו דער נאָרמאַל ען.

אין די פּלאַץ מיר קלייַבן קיין אַרבאַטרערי פונט און דינאָוט ב (רענטגענ, י, ז). לאָזן די ראַדיוס וועקטאָר פון יעדער פונט ב (רענטגענ, י, ז) וועט זיין ר = X * איך, + י * דזש + ז * ק, און די ראַדיוס וועקטאָר פון אַ פונט מₒ (הₒ, וₒ, זₒ) - רₒ = הₒ * איך, + וₒ * דזש + זₒ * ק. די פונט ב וועט געהערן צו אַ געגעבן פלאַך, אויב דער וועקטאָר מₒם זייַן פּערפּענדיקולאַר צו די וועקטאָר ן. מיר שרייַבן די צושטאַנד פון אָרטהאָגאָנאַליטי ניצן די סקיילער פּראָדוקט:

[מₒם, N] = 0.

זינט מₒם = ר-רₒ, די וועקטאָר יקווייזשאַן פון די פלאַך וועט קוקן ווי דעם:

[ר - רₒ, N] = 0.

דעם יקווייזשאַן קענען אויך האָבן אן אנדער פאָרעם. פֿאַר דעם צוועק, די פּראָפּערטיעס פון די סקיילער פּראָדוקט, און קאָנווערטעד די לינקס זייַט פון די יקווייזשאַן. [ר - רₒ, N] = [ר, ען] - [רₒ, N]. אויב [רₒ, N] דינאָוטאַד ווי ס, מיר קריגן די ווייַטערדיק יקווייזשאַן: [ר, ען] - אַ = 0 אָדער [ר, ען] = ס, וואָס יקספּרעסאַז די קאַנסטאַנסי פון די פּראַדזשעקשאַנז אויף דער נאָרמאַל וועקטאָר פון די ראַדיוס-וועקטערז פון די געגעבן ווייזט אַז געהערן פלאַך.

איצט איר קענען באַקומען די קאָואָרדאַנאַט טיפּ רעקאָרדינג פלאַך אונדזער וועקטאָר יקווייזשאַן [ר - רₒ, N] = 0. זינט ר-רₒ = (X-הₒ) * איך + (י-וₒ) * דזש + (ז-זₒ) * ק, און N = א * איך, + ב * דזש + C * ק, מיר האָבן:

עס טורנס אויס אַז מיר האָבן די יקווייזשאַן איז געגרינדעט פלאַך פּאַסינג דורך די פונט פּערפּענדיקולאַר צו דער נאָרמאַל ען:

א * (X הₒ) + ב * (י וₒ) ז * (ז-זₒ) = 0.

טיפּ לויט צו די פלאַך יקווייזשאַן און קאָואָרדאַנאַץ פון צוויי פּוינץ פון דער וועקטאָר פלאַך קאָללינעאַר

מיר דעפינירן צוויי אַרבאַטרערי פּוינץ ב '(רענטגענ', י ', ז') און ב "(X", י ", ז"), ווי געזונט ווי די וועקטאָר (אַ ', אַ ", אַ ‴).

איצט מיר קענען שרייַבן יקווייזשאַן פּרידיטערמינד פלאַך וואָס פּאַסיז דורך די יגזיסטינג פונט ב 'און ב ", און יעדער פונט מיט די קאָואָרדאַנאַץ ב (רענטגענ, י, ז) פּאַראַלעל צו אַ געגעבן וועקטאָר.

אזוי מ'ם וועקטערז רענטגענ = {רענטגענ ', י-י'; זז '} און ב "ב = {רענטגענ" -רענטגענ', י 'י'; ז "-ז '} זאָל זיין קאָפּלאַנאַר מיט דער וועקטאָר אַ = (אַ ', אַ ", אַ ‴), וואָס מיטל אַז (מ'ם ב" ם, אַ) = 0.

אַזוי אונדזער יקווייזשאַן פון אַ פלאַך אין פּלאַץ וועט קוקן ווי דעם:

טיפּ פון פלאַך יקווייזשאַן, אַריבער דרייַ פּוינץ

זאל ס זאָגן מיר האָבן דרייַ פּוינץ: (X ', י', ז '), (X', י ', ז'), (X ‴ האָבן ‴, ז ‴), וואָס טאָן ניט געהערן צו די זעלבע שורה. עס איז נייטיק צו שרייַבן יקווייזשאַן פון די פלאַך פּאַסינג דורך די דרייַ פּוינץ געווען. דזשיאַמאַטרי טעאָריע טענהט אַז דעם מין פון פלאַך טוט עקסיסטירן, עס ס נאָר איין און נאָר. זינט דעם פלאַך ינטערסעקץ די פונט (X ', י', ז '), זייַן יקווייזשאַן פאָרעם וואָלט זיין:

דאָ, א, ב, און C זענען אַנדערש פון נול אין דער זעלביקער צייַט. אויך געגעבן פלאַך ינטערסעקץ צוויי מער ווייזט (רענטגענ ", י", ז ") און (X ‴, י ‴, ז ‴). אין דעם קשר זאָל זיין געטראגן אויס דעם מין פון באדינגונגען:

איצט מיר קענען מאַכן אַ מונדיר סיסטעם פון יקווייזשאַנז (לינעאַר) מיט אַנאָונז ו, V, ד:

אין אונדזער פאַל X, י אָדער ז שטייט אַרבאַטרערי פונט וואָס סאַטיספיעס יקווייזשאַן (1). קאָנסידערינג יקווייזשאַן (1) און אַ סיסטעם פון יקווייזשאַנז (2) און (3) די סיסטעם פון יקווייזשאַנז אנגעוויזן אין דער פיגור אויבן, דער וועקטאָר סאַטיספיעס ען (א, ב, C) וואָס איז נאָנטריוויאַל. עס איז ווייַל די דיטערמאַנאַנט פון די סיסטעם איז נול.

עקוואַטיאָן (1) אַז מיר 'ווע גאַט, דאָס איז די יקווייזשאַן פון די פלאַך. 3 פונט זי טאַקע גייט, און עס ס 'גרינג צו קאָנטראָלירן. צו טאָן דאָס, מיר יקספּאַנד די דיטערמאַנאַנט דורך די יסודות אין די ערשטער רודערן. פון די יגזיסטינג פּראָפּערטיעס דיטערמאַנאַנט גייט אַז אונדזער פלאַך סיימאַלטייניאַסלי ינטערסעקץ די דרייַ ערידזשנאַלי פּרידיטערמינד פונט (X ', י', ז '), (X ", י", ז "), (X ‴, י ‴, ז ‴). אַזוי מיר באַשלאָסן צו אַרבעט אין פראָנט פון אונדז.

דיהעדראַל ווינקל צווישן די פּליינז

דיהעדראַל ווינקל איז אַ ספּיישאַל דזשיאַמעטריק פאָרעם געגרינדעט דורך צוויי האַלב-פּליינז וואָס עמאַנאַטע פֿון אַ גלייַך שורה. אין אנדערע ווערטער, אַ טייל פֿון דער פּלאַץ וואָס איז לימיטעד צו די האַלב-פּליינז.

רעכן מיר האָבן צוויי פלאַך מיט די ווייַטערדיק יקווייזשאַנז:

מיר וויסן אַז די וועקטאָר ען = (א, ב, C) און נ¹ = (אַ¹, ה¹, ס¹) לויט צו פּרידיטערמינד פּליינז זענען פּערפּענדיקולאַר. אין דעם אַכטונג, די ווינקל φ צווישן וועקטערז ען און נ¹ גלייַך ווינקל (דיהעדראַל), וואָס איז ליגן צווישן די פּליינז. די סקיילער פּראָדוקט איז געגעבן דורך:

ננ¹ = | ען || נ¹ | קאָס φ,

דווקא ווייַל

קאָסφ = ננ¹ / | ען || נ¹ | = (אַאַ¹, + וווו¹ סס¹, +) / ((√ (אַ², + ס², + וו²)) * (√ (אַ¹) ², + (ה¹) ², + (ס¹) ²)).

עס איז גענוג צו באַטראַכטן אַז 0≤φ≤π.

אַקטואַללי צוויי פּליינז אַז ינערסעקט, פאָרעם צוויי ווינקל (דיהעדראַל): φ ₁ און φ _2. זייער סאַכאַקל איז גלייַך צו π (φ ₁ + φ ₂ = π). ווי פֿאַר זייער קאָסינעס, זייער אַבסאָלוט וואַלועס זענען גלייַך, אָבער זיי זענען פאַרשידענע וואונדער, אַז איז, קאָס φ ₁ = -קאָס φ _2. אויב אין די יקווייזשאַן (0) איז ריפּלייסט דורך א, א, ב און C פון -A, -B און -C ריספּעקטיוולי, די יקווייזשאַן, מיר קריגן, וועט באַשליסן דער זעלביקער פלאַך, דער נאָר ווינקל φ אין יקווייזשאַן קאָס φ = נן ¹ / | ען || ן ¹ | עס וועט זיין ריפּלייסט דורך π-φ.

די יקווייזשאַן פון די פּערפּענדיקולאַר פלאַך

קאָלד פּערפּענדיקולאַר פלאַך, צווישן וועלכע די ווינקל איז 90 דיגריז. ניצן די מאַטעריאַל דערלאנגט אויבן, מיר קענען געפינען די יקווייזשאַן פון אַ פלאַך פּערפּענדיקולאַר צו די אנדערע. רעכן מיר האָבן צוויי פּליינז: האַק + דורך + קז + ד = 0, און, + אַ¹ה וו¹ו ס¹ז + + ד = 0. מיר קענען זאָגן אַז זיי זענען אָרטהאָגאָנאַל אויב קאָס = 0. דעם מיטל אַז ננ¹ = אַאַ¹, + וווו¹ סס¹, + = 0.

די יקווייזשאַן פון אַ פּאַראַלעל פלאַך

עס רעפעררעד צו צוויי פּאַראַלעל פּליינז וואָס אַנטהאַלטן קיין פּוינץ אין פּראָסט.

די צושטאַנד פון פּאַראַלעל פּליינז (זייער יקווייזשאַנז זענען די זעלבע ווי אין די פֿריִערדיקע פּאַראַגראַף) איז אַז די וועקטערז ען און נ¹, וואָס זענען פּערפּענדיקולאַר צו זיי, קאָללינעאַר. דעם מיטל אַז די ווייַטערדיק טנאָים זענען באגעגנט פּראָפּאָרטיאָנאַליטי:

א / א אַ¹ = ב / C = ה¹ / ס¹.

אויב די פּראַפּאָרשאַנאַל ווערטער זענען יקספּאַנדיד - א / א אַ¹ = ב / C = ה¹ / ס¹ = דד¹,

דעם ינדיקייץ אַז די דאַטן פלאַך פון די זעלבע. דעם מיטל אַז יקווייזשאַן האַק + דורך + קז + ד = 0 און, + אַ¹ה וו¹ו ס¹ז + + ד¹ = 0 באַשרייַבן איין פלאַך.

די דיסטאַנסע פֿון פונט צו פלאַך

רעכן מיר האָבן אַ פלאַך פּ, וואָס איז געגעבן דורך (0). עס איז נייטיק צו געפינען די דיסטאַנסע פֿון די פונט מיט קאָואָרדאַנאַץ (הₒ, וₒ, זₒ) = קₒ. , איר דאַרפֿן צו ברענגען די יקווייזשאַן אין די פלאַך וו נאָרמאַל אויסזען צו מאַכן עס:

(Ρ, V) = פּ (ר≥0).

אין דעם פאַל, ρ (X, י, ז) איז דער ראַדיוס וועקטאָר פון אונדזער פונט ק, ליגן אויף N פּ - N איז די לענג פון די פּערפּענדיקולאַר, וואָס איז געווען רעלעאַסעד פֿון דער נול פונט, V - איז די אַפּאַראַט וועקטאָר, וואָס איז עריינדזשד אין די ריכטונג אַ.

דער חילוק ρ-ρº ראַדיוס וועקטאָר פון אַ פונט ק = (X, י, ז), בילאָנגינג צו n און די ראַדיוס וועקטאָר פון אַ געגעבן פונט ק ₀ = (הₒ, וₒ, זₒ) איז אַזאַ אַ וועקטאָר, די אַבסאָלוט ווערט פון די פּרויעקציע פון וואָס אויף אין די יקוואַלז די דיסטאַנסע די, וואָס איז נייטיק צו געפינען פֿון ק = ₀ (הₒ, וₒ, זₒ) צו פּ:

ד = | (ρ-ρ ^0, V) |, אָבער

(Ρ-ρ ^0, V) = (ρ, V ) - (ρ ^0, V) = פּ (ρ ^0, V).

אַזוי עס טורנס אויס,

די = | (ρ ^0, V) פּ |.

איצט עס איז קלאָר אַז צו רעכענען די דיסטאַנסע ד פון ₀ צו ק פלאַך פּ, עס איז נייטיק צו נוצן נאָרמאַל קוק פלאַך יקווייזשאַן, די יבעררוק צו די לינקס פון ז ', און די לעצטע פּלאַץ פון רענטגענ, י, ז פאַרטרעטער (הₒ, וₒ, זₒ).

אזוי, מיר געפֿינען די אַבסאָלוט ווערט פון די ריזאַלטינג אויסדרוק וואָס איז required ד.

ניצן די פּאַראַמעטערס פון שפּראַך, מיר באַקומען די קלאָר ווי דער טאָג:

די = | אַהₒ וווₒ + + קזₒ | / √ (אַ², + וו², + ס²).

אויב די ספּעסיפיעד פונט ק ₀ איז אויף די אנדערע זייַט פון די פלאַך פּ ווי דער אָנהייב, דעמאָלט צווישן די וועקטאָר ρ-ρ ⁰ און V איז אַ אַבטוס ווינקל, אַזוי:

די = - (ρ-ρ ^0, V) = (ρ ^0, V) -P> 0.

אין די פאַל ווען די פונט ק ₀ אין קאַנדזשאַנגקשאַן מיט די אָנהייב ליגן אויף דער זעלביקער זייַט פון דער ו, די אַקוטע ווינקל איז געשאַפֿן געוואָרן, אַז איז:

די = (ρ-ρ ^0, V) = ז '- (ρ ^0, V)> 0.

די רעזולטאַט איז אַז אין די ערשטע פאַל (ρ ^0, V)> פּ, אין די רגע (ρ ^0, V) <פּ.

און זייַן טאַנדזשאַנט פלאַך יקווייזשאַן

בנוגע די פלאַך צו די ייבערפלאַך בייַ די פונט פון טאַנגענסי מº - אַ פלאַך מיט אַלע מעגלעך טאַנדזשאַנט צו די ויסבייג ציען דורך אַז פונט אויף די ייבערפלאַך.

מיט דעם ייבערפלאַך פאָרעם פון די יקווייזשאַן פֿ '(רענטגענ, י, ז) = 0 אין די יקווייזשאַן פון די טאַנדזשאַנט פלאַך טאַנדזשאַנט פונט מº (הº, וº, זº) וואָלט זיין:

ו _{רענטגענ} (הº, וº, זº) (הº רענטגענ) + ו _{רענטגענ} (הº, וº, זº) (וº י), + ו _{רענטגענ} (הº, וº, זº) (ז-זº) = 0.

אויב די ייבערפלאַך איז באַשטימט בפֿירוש ז = פֿ '(X, י), דעמאָלט דער טאַנדזשאַנט פלאַך איז דיסקרייבד דורך די יקווייזשאַן:

Z-זº = פֿ '(הº, וº) (הº רענטגענ) + פֿ' (הº, וº) (י וº).

די ינטערסעקשאַן פון צוויי פּליינז

אין דרייַ-דימענשאַנאַל פּלאַץ איז אַ קאָואָרדאַנאַט סיסטעם (רעקטאַנגגיאַלער) אָקסיז, געגעבן צוויי פּליינז פּ 'און פּ' אַז אָוווערלאַפּ און טאָן ניט צונויפפאַלן. זינט קיין פלאַך, וואָס איז אין אַ רעקטאַנגגיאַלער קאָואָרדאַנאַט סיסטעם Defined דורך דער גענעראַל יקווייזשאַן, מיר יבערנעמען אַז s '' און ן "זענען Defined דורך די יקווייזשאַנז אַ'קס, + וו'ו ס'ז, + + ד '= 0 און א" + B רענטגענ', + י מיט "ז + ד =" 0. אין דעם פאַל מיר האָבן נאָרמאַל s '' (א ', ב', C ') פון די פלאַך פּ' און דער נאָרמאַל N "(א", ב ", C") פון די פלאַך פּ '. ווי אונדזער פלאַך זענען נישט פּאַראַלעל און טאָן ניט צונויפפאַלן, דעמאָלט די וועקטערז זענען נישט קאָללינעאַר. ניצן די שפּראַך פון מאטעמאטיק, מיר האָבן דעם צושטאַנד קענען ווערן געשריבן ווי: s '' ≠ n "↔ (א ', ב', C ') ≠ (λ * און", λ * אין ", λ * C"), λεר. זאל דער גלייַך שורה וואָס ליגט אין די ינטערסעקשאַן פּ 'און פּ ", וועט זיין דינאָוטאַד דורך די בריוו אַ, אין דעם פאַל אַ = פּ' ∩ פּ".

און - אַ שורה קאַנסיסטינג פון אַ פּלוראַליטעט פון ווייזט (פּראָסט) פּליינז פּ 'און פּ ". דעם מיטל אַז די קאָואָרדאַנאַץ פון קיין פונט בילאָנגינג צו די שורה אַ, מוזן סיימאַלטייניאַסלי באַפרידיקן די יקווייזשאַן אַ'קס, + וו'ו ס'ז, + + ד '= 0 און א "X + ב' + C י" ז + ד = "0. דעם מיטל אַז די קאָואָרדאַנאַץ פון די פונט וועט זיין אַ באַזונדער לייזונג פון די ווייַטערדיק יקווייזשאַנז:

די רעזולטאַט איז אַז די לייזונג (קוילעלדיק) פון דעם סיסטעם פון יקווייזשאַנז וועט באַשליסן די קאָואָרדאַנאַץ פון יעדער פון ווייזט אויף די שורה וואָס וועט שפּילן ווי די פונט פון ינטערסעקשאַן פּ 'און פּ ", און באַשטימען אַ שורה אין אַ קאָואָרדאַנאַט סיסטעם אָקסיז (רעקטאַנגגיאַלער) פּלאַץ.