פאָוריער יבערמאַכן. שנעל פאָוריער יבערמאַכן. דיסקרעטע פאָוריער יבערמאַכן

פאָוריער טראַנספאָרמאַציע - טראַנספאָרמאַציע, אַסאָוסיייטינג אַ זיכער פֿונקציע פון אַ פאַקטיש בייַטעוודיק. דעם אָפּעראַציע איז געטאן יעדער צייַט מיר זע פאַרשידענע סאָונדס. אויער טראגט אָטאַמאַטיק "כעזשבן", וואָס מקיים אונדזער באוווסטזיין קענען נאָר נאָך די דורכקוק פון די אָפּטיילונג פון העכער מאטעמאטיק. געהער אָרגאַן אין אַ מענטשלעך טראַנספאָרמאַציע קאַנסטראַקץ, אין וואָס די געזונט (קאַנווענשאַנאַל וויבראַטיאָנאַל באַוועגונג פון פּאַרטיקאַלז אין אַ גומע מיטל, וואָס פאַרמערן אין פאָכן פאָרעם אין די האַרט, פליסיק אָדער גאַזאַרטיק מיטל) איז צוגעשטעלט אין אַ קייט פון קאָנסעקוטיווע וואַלועס פון דעם באַנד מדרגה פון טאָנעס פון וועריינג כייץ. נאָך דעם, די מאַרך טורנס די אינפֿאָרמאַציע אין אַלע די באַקאַנט געזונט.

מאַטאַמאַטיקאַל פאָוריער יבערמאַכן

קאָנווערסיאָן פון געזונט כוואליעס אָדער אנדערע ווייבריישאַן פּראַסעסאַז (דורך ליכט ימישאַן און אָקעאַן יאַמ-פלייץ און צו סטעלער אָדער זונ סייקאַלז) קענען ווערן געטאן און דורך מיטל פון מאַטאַמאַטיקאַל מעטהאָדס. אזוי, ניצן די טעקניקס, די פֿעיִקייטן קענען זיין יקספּאַנדאַד דורך ינטראָודוסינג וויבראַטיאָנאַל פּראַסעסאַז שטעלן פון סינוסאָידאַל קאַמפּאָונאַנץ, י.ע. ווייווי קורוועס וואָס גיין פון אַ מינימום צו אַ מאַקסימום און דעמאָלט ווידער צו אַ מינימום, ווי די כוואַליע פון די ים. פאָוריער טראַנספאָרמאַציע - טראַנספאָרמאַציע פֿונקציע וואָס באשרייבט די לבֿנה אָדער אַמפּליטוד פון יעדער סינוסאָיד קאָראַספּאַנדינג צו אַ באַזונדער אָפטקייַט. לבֿנה איז אַ סטאַרטינג פונט פון די ויסבייג, און די אַמפּליטוד - פון זייַן הייך.

פאָוריער יבערמאַכן (יגזאַמפּאַלז זענען געוויזן אין די Photo) איז אַ זייער שטאַרק געצייַג, וואָס איז געניצט אין פאַרשידן fields פון וויסנשאַפֿט. אין עטלעכע קאַסעס, עס איז געניצט ווי אַ לייזונג אלא קאָמפּלעקס יקווייזשאַנז וואָס באַשרייַבן די דינאַמיש פּראַסעסאַז געשעעניש אונטער דער השפּעה פון ליכט, היץ אָדער עלעקטריקאַל ענערגיע. אין אנדערע קאַסעס, עס אַלאַוז איר צו דעפינירן רעגולער קאַמפּאָונאַנץ אין קאָמפּלעקס וואַוועפאָרמס, רעכט צו דעם קענען זיין אמת צו טייַטשן פאַרשידן יקספּערמענאַל אַבזערוויישאַנז אין כעמיע, מעדיצין און אַסטראָנאָמיע.

היסטארישע אינפֿאָרמאַציע

דער ערשטער מענטש צו צולייגן דעם אופֿן איז געווען דער פראנצויזיש מאַטעמאַטיקער זשאַן באַטיסט פורע. קאַנווערזשאַן, דערנאָך געהייסן נאָך אים, איז געווען ערידזשנאַלי געניצט צו באַשרייַבן די היץ קאַנדאַקשאַן מעקאַניזאַם. פאָוריער זיין גאנצע דערוואַקסן לעבן פאַרקנאַסט אין געלערנט די פּראָפּערטיעס פון די היץ. ער האט געמאכט אַ ריזיק צושטייַער צו די מאַטאַמאַטיקאַל טעאָריע פון די פעסטקייַט פון די רוץ פון אַלדזשאַבריייק יקווייזשאַנז. פאָוריער איז געווען אַ פּראָפעסאָר פון אַנאַליסיס אין די עקאָלע פּאָליטעטשניקווע, די סעקרעטאַרי פון דעם אינסטיטוט פון עגיפּטאָלאָגי, איז געווען די קייסעריש דינסט, וואָס האָט געפֿירט אַ קאָך אין די צייַט פון קאַנסטראַקשאַן פון די וועג צו טורין (אונטער זיין פירערשאַפט איז געווען ויסגעשעפּט פון מער ווי 80 קוואַדראַט קילאָמעטערס פון מאַלאַריאַל סוואָמפּס). אָבער, אַלע דעם אַקטיוויזאַם האט ניט האַלטן די געלערנטער פאַרקנאַסט אין מאַטאַמאַטיקאַל אַנאַליסיס. אין 1802 עס איז געווען דערייווד אַ יקווייזשאַן אַז באשרייבט די פּראַפּאַגיישאַן פון היץ אין סאָלידס. אין 1807, געלערנטער דיסקאַווערד אַ אופֿן פֿאַר סאַלווינג דעם יקווייזשאַן, וואָס איז געווארן באקאנט ווי "פאָוריער יבערמאַכן".

טערמאַל קאַנדאַקטיוואַטי אַנאַליסיס

רעסעאַרטשערס געניצט אַ מאַטאַמאַטיקאַל אופֿן צו שילדערן די היץ קאַנדאַקשאַן מעקאַניזאַם. א באַקוועם לעמאָשל, ווערין קיין שוועריקייט אין קאַמפּיאַטיישאַן איז די פּראַפּאַגיישאַן פון טערמאַל ענערגיע דורך אַ פּרעסן רינג, איין טייל געטובלט אין אַ פייַער. צו פירן אויס יקספּעראַמאַנץ פאָוריער רויט הייס טייל פון די רינג און באַגראָבן אים אין די פייַן זאַמד. דערנאָכדעם, די טעמפּעראַטור מעזשערמאַנץ געטראגן אויס אויף דער אנדערער טייל דערפון. טכילעס, די היץ פאַרשפּרייטונג איז ירעגיאַלער: טייל פון די רינג - קאַלט, און די אנדערע - וואַרעם, צווישן די זאָנעס קענען אָבסערווירן אַ שאַרף טעמפּעראַטור גראַדיענט. אבער, בעשאַס די היץ פאַרשפּרייטונג אַריבער די מעטאַל ייבערפלאַך, עס ווערט מער מונדיר. אַזוי, באַלד, דעם פּראָצעס נעמט די פאָרעם פון אַ סינוס כוואַליע. ערשטער גראַפיק ביסלעכווייַז ינקריסאַז און אויך דיקריסאַז סמודלי, אַקיעראַטלי די געזעצן פון ווערייישאַן פון די קאָסינע אָדער סינוס פֿונקציע. וואַווע ביסלעכווייַז יקוואַלייזד און ווי אַ רעזולטאַט די טעמפּעראַטור ווערט מונדיר אויף די גאנצע ייבערפלאַך פון די רינג.

דער מחבר פון דעם אופֿן אנגענומען אַז די ערשט פאַרשפּרייטונג איז גאַנץ ירעגיאַלער קענען זיין דיקאַמפּאָוזד אין אַ נומער פון עלעמענטאַר סינוס כוואליעס. יעדער פון זיי וועט האָבן זייַן לבֿנה (ערשט שטעלע) און זייַן מאַקסימום טעמפּעראַטור. אזוי יעדער אַזאַ קאָמפּאָנענט ענדערונגען פון אַ מינימום צו אַ מאַקסימום און צוריק צו פאַרענדיקן רעוואָלוציע אַרום די רינג ינטאַדזשער מאל. קאָמפּאָנענט בעת אַ צייַט וואָס איז געווען האָט גערופֿן דעם פונדאַמענטאַל האַרמאָניק, און די ווערט מיט צוויי אָדער מער פּיריאַדז - די רגע און אַזוי אויף. למשל, אַ מאַטאַמאַטיקאַל פֿונקציע אַז באשרייבט די מאַקסימום טעמפּעראַטור, די לבֿנה אָדער שטעלע האָט גערופֿן דעם פאָוריער יבערמאַכן פון די פאַרשפּרייטונג פֿונקציע. געלערנטער געבראכט אַ איין קאָמפּאָנענט אַז איז שווער צו מאַטאַמאַטיקאַל באַשרייַבונג, פֿאַר גרינג-צו-נוצן מכשירים - ראָוז פון סינוס און קאָסינע, אין דער סומע פון געבן די ערשט פאַרשפּרייטונג.

די עסאַנס פון די אַנאַליסיס

אַפּלייינג דעם אַנאַליסיס צו דער קאַנווערזשאַן פון היץ פאַרשפּרייטונג אויף די האַרט כייפעץ, ווייל אַ אַניאַלער פאָרעם, אַ מאַטעמאַטיקער געשלאגן אַז ינקריסינג פּיריאַדז פון סינוסאָידאַל קאַמפּאָונאַנץ פירן צו זייַן גיך דאַמפּינג. דאס איז קלאר געזען אויף די הויפּט און רגע האַרמאָניקס. די לעצט טעמפּעראַטור ריטשאַז צוויי מאָל די מאַקסימום און מינימום וואַלועס אין אַ איין פאָרן, און אין דער ערשטער - נאָר אַמאָל. עס טורנס אויס אַז די דיסטאַנסע טראַוועלעד דורך היץ אין די רגע האַרמאָניק איז האַלב אַז פון די האַרץ. אין נאך, די גראַדיענט פון די רגע האַלב וועט אויך זיין סטיפּער ווי דער ערשטער. דעריבער, זינט אַ מער טיף טערמאַל פלוקס פּאַסיז אלמנה מינימאַל דיסטאַנסע, דעמאָלט דעם וועט זייַן דאַמפּעד האַרמאָניק פיר מאל Faster ווי די הויפּט, ווי אַ פֿונקציע פון צייַט. אין די ווייַטערדיק דער פּראָצעס וועט זייַן אַפֿילו שנעלער. מאַטעמאַטיקער געגלויבט אַז דעם אופֿן אַלאַוז אונדז צו רעכענען די פּראָצעס פון די ערשט פאַרשפּרייטונג פון טעמפּעראַטור מיט צייַט.

רופן קאָנטעמפּאָראַריעס

פאָוריער יבערמאַכן אַלגערידאַם האט ווערן אַ אַרויסרופן צו די טעאָרעטיש יסודות פון מאטעמאטיק אין דער צייַט. אין די פרי nineteenth יאָרהונדערט, רובֿ באַוווסט סייאַנטיס, כולל Lagrange, לאַפּלאַסע, פּאָיססאָן, לעגענדרע און Biot האט ניט אָננעמען זייַן באַשטעטיקן אַז די טעמפּעראַטור פון די ערשט פאַרשפּרייטונג איז דיקאַמפּאָוזד אין קאַמפּאָונאַנץ אין די פאָרעם פון די פונדאַמענטאַל כוואַליע און העכער אָפטקייַט. אָבער, די אַקאַדאַמי פון ססיענסעס קען נישט איגנאָרירן די רעזולטאַטן באקומען מאַטעמאַטיקער, און אַוואָרדיד אים דעם Prize פֿאַר די טעאָריע פון היץ קאַנדאַקשאַן פון די געזעצן, ווי געזונט ווי קאַנדאַקטינג זייַן פאַרגלייַך מיט גשמיות יקספּעראַמאַנץ. אין די פאָוריער צוגאַנג, די הויפּט אַבדזשעקשאַן איז די פאַקט אַז אַ דיסקאָנטינואָוס פֿונקציע איז רעפּריזענטיד דורך אַ סאַכאַקל פון עטלעכע סינוסאָידאַל פֿעיִקייטן, וואָס זענען קעסיידערדיק. נאָך אַלע, זיי באַשרייַבן די בערסטינג גלייַך און קערווד שורות. הייַנטצייַטיק געלערנטער האט קיינמאָל געפּלאָנטערט אַזאַ אַ סיטואַציע, ווען די דיסקאָנטינואָוס פֿעיִקייטן דיסקרייבד דורך אַ קאָמבינאַציע פון קעסיידערדיק, אַזאַ ווי קוואַדראַטיק, לינעאַר, סינוס אָדער עקסהיביטאָר. אין דער געשעעניש אַז אַ מאַטעמאַטיקער איז געווען רעכט אין זייַן אַסערשאַנז, די סאַכאַקל פון אַ Infinite סעריע פון טריגאָנאָמעטריק פֿעיִקייטן זאָל זיין באגרענעצט צו די פּינטלעך גיכקייַט. בשעת אַזאַ אַ פאָדערן געווען ווילד. אָבער, טראָץ די דאָובץ פון עטלעכע ריסערטשערז (למשל קלאַודע נאַוויער, סאָפי זשערמען) בראָדאַנד די פאַרנעם פון פאָרשונג און ברענגען זיי אויס פון די אַנאַליסיס פון היץ פאַרשפּרייטונג. א מאטעמאטיק, דערווייַל, געצויגן צו לייַדן די קשיא פון צי אַ סאַכאַקל פון עטלעכע סינוסאָידאַל פֿעיִקייטן איז רידוסט צו אַן פּינטלעך פאַרטרעטונג פון בערסטינג.

200-יאָר געשיכטע

דעם טעאָריע האט יוואַלווד איבער צוויי סענטשעריז, הייַנט עס איז לעסאָף געגרינדעט. מיט די הילף פון די ספּיישאַל אָדער צייַטעדיק פֿעיִקייטן זענען צעבראכן אין סינוסאָידאַל קאַמפּאָונאַנץ אַז האָבן אַ אָפטקייַט, לבֿנה און אַמפּליטוד. דעם קאַנווערזשאַן איז באקומען דורך צוויי פאַרשידענע מאַטאַמאַטיקאַל מעטהאָדס. דער ערשטער פון זיי איז געניצט אין דעם פאַל ווען דער מקור איז אַ קעסיידערדיק פונקציאָנירן, און די צווייט - אין די פאַל ווו עס איז רעפּראַזענטאַד דורך אַ פּלוראַליטעט פון דיסקרעטע יחיד ענדערונגען. אויב די אויסדרוק איז באקומען פון וואַלועס, וואָס זענען Defined ביי דיסקרעטע ינטערוואַלז, עס קענען זיין צעטיילט אין עטלעכע דיסקרעטע סינוסאָידאַל פרעקווענסיעס אויסדרוקן - פֿון די לאָואַסט און דעמאָלט דאַבאַלד, טריפּאַלד, און אַזוי אַרויס אויבן די פונדאַמענטאַל. דעם סכום איז גערופֿן די פאָוריער סעריע. אויב די ערשט אויסדרוק שטעלט די ווערט פון יעדער פאַקטיש נומער, עס קענען זיין צעבראכן אַראָפּ אין קייפל סינוסאָידאַל אַלע מעגלעך פרעקווענסיעס. עס איז גערופֿן אַ פאָוריער ינטאַגראַל, און דער באַשלוס ימפּלייז אַ טראַנספאָרמאַציע פון די ינטאַגראַל פֿונקציע. רעגאַרדלעסס פון דעם אופֿן פֿאַר באקומען טראַנספאָרמאַציע, פֿאַר יעדער אָפטקייַט זאָל אָנווייַזן צוויי נומערן: אַמפּליטוד און אָפטקייַט. די וואַלועס זענען אויסגעדריקט ווי אַ איין קאָמפּלעקס נומער. אויסדרוק קאָמפּלעקס וועריאַבאַלז טעאָריע צוזאַמען מיט פאָוריער טראַנספאָרמאַציע צו דורכפירן חשבונות ערלויבט די פּלאַן פון פאַרשידן עלעקטריש סערקאַץ, די אַנאַליסיס פון מעטשאַניקאַל ווייבריישאַנז, די לערנען פון פאָכן פּראַפּאַגיישאַן מעקאַניזאַם און דעם אנדערן.

פאָוריער יבערמאַכן הייַנט

נאַואַדייז, די לערנען פון דעם פּראָצעס בייסיקלי בוילז אַראָפּ צו דערגייונג עפעקטיוו מעטהאָדס פֿאַר די יבערגאַנג פון פֿונקציע צו בייַטן עס צוריק צו מיינונג. דעם באַשייד איז האָט גערופֿן דעם דירעקט און פאַרקערט פאָוריער יבערמאַכן. וואָס טוט עס מיינען? אין סדר צו באַשליסן די ינטאַגראַל און מאַכן אַ דירעקט פאָוריער יבערמאַכן, איר קענען נוצן מאַטאַמאַטיקאַל מעטהאָדס, אָבער איר קענען אַנאַליטיק. טראָץ דער פאַקט אַז ווען זיי זענען געניצט אין פיר עס זענען עטלעכע שוועריקייטן, רובֿ ינטעגראַלס האָבן שוין געווען געפֿונען און אריין אין מאַטאַמאַטיקאַל האַנדבאָאָקס. מיט דער הילף פון נומעריקאַל מעטהאָדס קענען זיין קאַלקיאַלייטיד אויסדרוקן, די פאָרעם פון וואָס איז באזירט אויף די יקספּערמענאַל דאַטן, אַ פֿונקציע וועמענס ינטעגראַלס אין די טישן זענען פעלנדיק, און זיי זענען שווער צו ימאַדזשאַן אין אַ אַנאַליטיקאַל פאָרעם.

איידער די אַדווענט פון קאָמפּיוטער ינזשעניעריע חשבונות אַזאַ טראַנספאָרמאַטיאָנס האָבן שוין זייער טידיאַס, זיי דאַרפן מאַנואַל דורכפירונג פון אַ גרויס נומער פון אַריטמעטיק אַפּעריישאַנז אַז אָפענגען אויף די נומער פון ווייזט אַז באַשרייַבן די כוואַליע פֿונקציע. פֿאַר גרינג די ויסגלייַך הייַנט, עס זענען ספּעציעל מגילה, ערלויבט צו ינסטרומענט נייַ אַנאַליטיקאַל מעטהאָדס. אַזוי, אין 1965, דזשיימס קולי און דזשאָן טיוקי Created ווייכווארג אַז איז געווארן באקאנט ווי "שנעל פאָוריער יבערמאַכן". עס סאַוועס די צייַט פון די כעזשבן דורך רידוסינג די נומער פון מולטיפּליקאַטיאָנס אין די אַנאַליסיס פון די ויסבייג. "שנעל פאָוריער יבערמאַכן" דער אופֿן איז באזירט אויף דיוויידינג די ויסבייג אין אַ גרויס נומער פון מונדיר מוסטער וואַלועס. אַקקאָרדינגלי, די נומער פון מולטיפּליקאַטיאָנס איז רידוסט דורך האַלב אין דער זעלביקער רידוסינג די נומער פון ווייזט.

אַפּלייינג די פאָוריער יבערמאַכן

דעם פּראָצעס איז געניצט אין פאַרשידן fields: אין נומער טעאָריע, פיזיק, סיגנאַל פּראַסעסינג, קאָמבינאַטאָריקס, מאַשמאָעס טעאָריע, קריפּטאָגראַפי, סטאַטיסטיק, אָסעאַנאָגראַפי, אָפּטיקס, אַקוסטיקס, און אנדערע געאָמעטריעס. רייַך פּאַסאַבילאַטיז פֿאַר זייַן נוצן זענען באזירט אויף אַ נומער פון נוציק פֿעיִקייטן, וואָס זענען גערופֿן "פּראָפּערטיעס פון די פאָוריער טראַנספאָרמאַציע." זאל אונדז ונטערזוכן זיי.

1. די קאַנווערזשאַן פֿונקציע איז אַ לינעאַר אָפּעראַטאָר און אַ קאָראַספּאַנדינג נאָרמאַליזיישאַן איז יוניטערי. דעם פאַרמאָג איז באקאנט ווי די פּאַרסעוואַל טעאָרעם, אָדער אין די גענעראַל פאַל, די טעאָרעם פּלאַנשערעלדזשאַ אָדער פּאָנטרדזשאַגין דואַליסם.

2. די קאַנווערזשאַן איז ריווערסאַבאַל. דערצו, די פאַרקערט רעזולטאַט איז סאַבסטאַנשאַלי ענלעך פאָרעם ווי אין די דירעקט אַדרעסינג.

3. די סינוסאָידאַל יקערדיק אויסדרוקן זענען זייער אייגן דיפפערענטיאַטעד פֿעיִקייטן. דעם מיטל אַז אַזאַ פאַרטרעטונג ענדערונגען לינעאַר יקווייזשאַנז מיט קעסיידערדיק קאָעפפיסיענץ אין אַ קאַנווענשאַנאַל אַלדזשאַבריייק.

4. לויט צו די "קאַנוואַלושאַן" טעאָרעם, דער פּראָצעס מאכט אַ קאָמפּלעקס אָפּעראַציע אין עלעמענטאַר קייפל.

5. דיסקרעטע פאָוריער יבערמאַכן קענען זיין געשווינד דיזיינד אויף אַ קאָמפּיוטער ניצן די "שנעל" אופֿן.

ווערייישאַנז פון די פאָוריער יבערמאַכן

1. רובֿ אָפֿט דעם טערמין איז געניצט צו אָפּשיקן צו אַ קעסיידערדיק טראַנספאָרמאַציע, פּראַוויידינג קיין קוואַדראַטיקאַללי ינטעגראַבלע אויסדרוק ווי די סאַכאַקל פון קאָמפּלעקס עקספּאָונענשאַל אויסדרוק מיט ספּעציפיש ווינקלדיק פרעקווענסיעס און אַמפּליטודעס. דאס מינים האט עטלעכע פאַרשידענע Forms, וואָס זאל זיין אַנדערש קעסיידערדיק קאָעפפיסיענץ. די קעסיידערדיק אופֿן כולל אַ קאַנווערזשאַן טיש, וואָס קענען זיין געפֿונען אין מאַטאַמאַטיקאַל האַנדבאָאָקס. א דזשענראַלייזד פאַל איז די פראַקטיאָנאַל קאַנווערזשאַן, ווערביי דעם פּראָצעס קענען זיין מחיה צו דער געוואלט פאַקטיש מאַכט.

2. די קעסיידערדיק אופֿן איז אַ גענעראַליזאַטיאָן פון פריער טעכניק פון פאָוריער סעריע Defined פֿאַר קיין פּעריאָדיש פֿעיִקייטן אָדער אויסדרוקן, וואָס עקסיסטירן אין אַ לימיטעד געגנט און פאָרשטעלן זיי ווי אַ סעריע פון סינוסאָידס.

3. דיסקרעטע פאָוריער יבערמאַכן. דעם אופֿן איז געניצט אין קאַמפּיוטינג פֿאַר SCIENTIFIC קאַמפּיאַטיישאַן און דיגיטאַל סיגנאַל פּראַסעסינג. צו פירן אויס דעם טיפּ פון חשבון איז required צו האָבן אַ פֿונקציע פון דיטערמאַנינג אויף אַ דיסקרעטע שטעלן פון יחיד ווייזט, פּעריאָדיש אָדער באגרענעצט געגנט אַנשטאָט פון קעסיידערדיק פאָוריער ינטעגראַלס. סיגנאַל קאַנווערזשאַן אין דעם פאַל איז רעפּריזענטיד ווי אַ סאַכאַקל פון סינוסאָידס. די נוצן פון "שנעל" אופֿן אַלאַוז די נוצן פון דיגיטאַל סאַלושאַנז פֿאַר אַלע פּראַקטיש צוועקן.

4. די פֿענצטער פאָוריער יבערמאַכן איז אַ דזשענראַלייזד קוק פון דער קלאַסיש אופֿן. ניט ענלעך נאָרמאַל סאַלושאַנז ווען דער סיגנאַל ספּעקטרום איז געניצט, וואָס איז גענומען אין די פול קייט פון עקזיסטענץ פון דעם בייַטעוודיק איז פון באַזונדער אינטערעס דאָ איז נאָר די היגע אָפטקייַט פאַרשפּרייטונג בשעת מיינטיינינג דער אָריגינעל בייַטעוודיק (צייַט).

5. די צוויי-דימענשאַנאַל פאָוריער יבערמאַכן. דעם אופֿן איז געניצט צו אַרבעטן מיט צוויי-דימענשאַנאַל ערייז פון דאַטן. אין אַזאַ אַ פאַל, די קאַנווערזשאַן איז געטאן אין איין ריכטונג, און דעמאָלט - אין די אנדערע.

סאָף

הייַנט, די פאָוריער אופֿן איז פירמלי ענטרענטשט אין די פאַרשידן fields פון וויסנשאַפֿט. לעמאָשל, אין 1962 עס אָפּענעד די פאָרעם פון די דנאַ טאָפּל כיליקס ניצן פאָוריער אַנאַליסיס אין קאַנדזשאַנגקשאַן מיט X-Ray דיפפראַקטיאָן. פריש קריסטאַלז זיך קאָנצענטרירט אויף דנאַ פיבערס, ריזאַלטינג אין אַ בילד וואָס איז באקומען דורך דיפפראַקטיאָן, רעקאָרדעד אויף די פילם. דאס בילד האט אינפֿאָרמאַציע וועגן דעם ווערט פון די אַמפּליטוד דורך ניצן די פאָוריער יבערמאַכן צו דעם קריסטאַל סטרוקטור. לבֿנה דאַטן באקומען דורך קאַמפּערינג די דנאַ דיפפראַקטיאָן קאַרדס מיט קאַרדס וואָס זענען באקומען אין די אַנאַליסיס פון ענלעך כעמיש סטראַקטשערז. ווי אַ רעזולטאַט, בייאַלאַדזשאַסץ געזונט קריסטאַל סטרוקטור - דער אָריגינעל פֿונקציע.

פאָוריער יבערמאַכן שפּילן אַ ריזיק ראָלע אין דעם לערנען פון ויסווייניקסט פּלאַץ, די פיזיק פון סעמיקאַנדאַקטער מאַטעריאַלס און פּלאַזמע, מייקראַווייוו אַקוסטיקס, אָסעאַנאָגראַפי, ראַדאַר, סעיסמאָלאָגי און מעדיציניש יגזאַמאַניישאַנז.