ווי צו רעכענען די געגנט פון אַ פּיראַמיד: די באַזע, זייַט און פול?

אין צוגרייטונג פֿאַר די עקסאַם אין מאטעמאטיק סטודענטן האָבן צו סיסטעמאַטיזירן די וויסן פון אַלגעבראַ און דזשיאַמאַטרי. איך וואָלט ווי צו פאַרבינדן אַלע באקאנט אינפֿאָרמאַציע, אַזאַ ווי ווי צו רעכענען די געגנט פון אַ פּיראַמיד. דערצו, סטאַרטינג פון די דנאָ און זייַט פּנימער ביז דער גאנצער ייבערפלאַך געגנט. אויב די זייַט פּנימער די סיטואַציע איז קלאָר, ווי זיי זענען טרייאַנגגאַלז, די באַזע איז שטענדיק אַנדערש.

ווי צו זיין ווען די געגנט פון די באַזע פון דער פּיראַמיד?

עס קענען זיין גאַנץ קיין פיגור פון אַ אַרבאַטרערי דרייַעק צו די N-גאָן. און דעם באַזע, חוץ די חילוק אין די נומער פון אַנגלעס, זאל זיין ריכטיק אָדער פאַלש פיגור. אין דעם אינטערעס פון סטודענטן טאַסקס אויף די עקסאַם געפֿונען בלויז דזשאָבס מיט די ריכטיק Figures אין דער באַזע. דעריבער, מיר וועלן נאָר רעדן וועגן זיי.

עקווילאַטעראַל דרייַעק

אַז איז עקווילאַטעראַל. איינער אַז אַלע פּאַרטיעס זענען גלייַך און זענען דעזיגנייטיד דורך די בריוו "א". אין דעם פאַל, די באַזע געגנט פון די פּיראַמיד איז קאַלקיאַלייטיד דורך די פאָרמולע:

ד = (אַ ² * √3) / 4.

קוואַדראַט

די פאָרמולע צו רעכענען זייַן געגנט איז די סימפּלאַסט, איז "אַ" - זייַט איז ווידער:

און ד = ^2.

אַרבאַטרערי רעגולער N-גאָן

ביי די זייטן פון די פילעק דער זעלביקער באַשטימונג. פֿאַר די נומער פון אַנגלעס געניצט רעדאַגירן בריוו ן.

ד = (N * אַ ²⁾ / (4 * טג (180º / N)) .

ווי צו אַרייַן אין דעם חשבון פון די געגנט פון די לאַטעראַל און פול ייבערפלאַך?

זינט די באַזע ציפער איז ריכטיק, דעריבער אַלע די פּנימער פֿון די פּיראַמיד זענען גלייַך. יעדער פון וואָס איז אַ ייסאָסאַליז דרייַעק, זינט די זייַט עדזשאַז זענען גלייַך. דעמאָלט, אין סדר צו רעכענען די געגנט פון אַ זייַט פון דער פּיראַמיד דאַרפֿן פאָרמולע קאַנסיסטינג פון די סאַכאַקל פון מאָנאָמיאַלס יידעניקאַל. די נומער פון ווערטער איז באשלאסן דורך די סומע פון די באַזע זייטן.

די געגנט פון אַ ייסאָסאַליז דרייַעק איז קאַמפּיוטאַד דורך די פאָרמולע אין וואָס העלפט פון די באַזע פּראָדוקט איז געמערט דורך די הייך. דעם הייך אין די פּיראַמיד גערופֿן אַפּאָטהעם. זייַן באַצייכענונג - "א". דער גענעראַל פאָרמולע פֿאַר די געגנט פון די לאַטעראַל ייבערפלאַך איז ווי גייט:

ד = ½ פּ * א, ווו פּ - פּערימעטער פון די באַזע פון דער פּיראַמיד.

עס זענען מאל ווען עס איז נישט באקאנט צו די באַזע זייַט, אָבער די זייַט עדזשאַז זענען (אַ) פלאַך און די ווינקל אין די ייפּעקס (α). דעמאָלט עס רעליעס נוצן די ווייַטערדיק פאָרמולע צו רעכענען די לאַטעראַל געגנט פון דער פּיראַמיד:

ד = N / 2 צו ² * זינד α.

אַרבעט № 1

צושטאַנד. געפינען די גאַנץ געגנט פון דער פּיראַמיד, אויב זייַן באַזע איז אַ עקווילאַטעראַל דרייַעק מיט אַ זייַט פון 4 סענטימעטער און האט די ווערט √3 אַפּאָטהעם סענטימעטער.

באַשלוס. עס זאָל אָנהייבן מיט די כעזשבן פון די באַזע פּערימעטער. זינט דעם איז אַ רעגולער דרייַעק, דעמאָלט פּ = 3 * 4 = 12 סענטימעטער אַפּאָטהעם ווי איז באקאנט, איינער קענען מיד רעכענען די געגנט פון דער גאנצער לאַטעראַל ייבערפלאַך :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^{קמ 2.}

צו קריגן די באַזע דרייַעק איז די ווערט פון דער געגנט (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^{קמ 2.}

צו באַשטימען די גאנצע געגנט דאַרפֿן צו פאַרלייגן די צוויי ריזאַלטינג וואַלועס: 6√3, + 4√3 = 10√3 ^{קמ 2.}

ענטפֿערן. 10√3 ^{קמ 2.}

פּראָבלעם № 2

צושטאַנד. עס איז אַ רעגולער פירעקיק פּיראַמיד. די לענג פון די באַזע איז גלייַך צו 7 מם, די לאַטעראַל ברעג - 16 מם. איר דאַרפֿן צו וויסן זייַן ייבערפלאַך געגנט.

באַשלוס. זינט די פּאַליכידראַן - רעקטאַנגגיאַלער און ריכטיק, אין זייַן באַזע איז אַ קוואַדראַט. געהער באַזע געגנט און לאַטעראַל זייטן קענען צו ציילן די קוואַדראַט פּיראַמיד. די פאָרמולע פֿאַר די קוואַדראַט איז געגעבן אויבן. און איך וויסן אַלע די זייַט פּנימער פֿון די דרייַעק. דעריבער, איר קענען נוצן העראָן ס פאָרמולע פֿאַר קאַלקיאַלייטינג זייער געביטן.

דער ערשטער חשבונות זענען פּשוט און פירן צו דעם נומער: 49 מם ^2. צו רעכענען די רגע ווערט דאַרפֿן סעמיפּערימעטער: (7, + 16 * 2): 2 = 19.5 מם. איצט מיר קענען רעכענען די געגנט פון אַ ייסאָסאַליז דרייַעק: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54,644 מם ^2. עס זענען פיר טרייאַנגגאַלז, אַזוי ווען קאַלקיאַלייטינג די לעצט נומערן וועט דאַרפֿן צו זיין געמערט דורך 4.

באקומען: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^{ממ 2.}

ענטפֿערן. 267.576 געבעטן ווערט פון ² מם.

אַרבעט № 3

צושטאַנד. אין רעגולער פירעקיק פּיראַמיד איז נייטיק צו רעכענען די געגנט. עס איז באקאנט זייַט פון די קוואַדראַט - 6 סענטימעטער און הייך - 4 סענטימעטער.

באַשלוס. די יזיאַסט וועג צו נוצן די פאָרמולע צו די פּראָדוקט פון די פּערימעטער און אַפּאָטהעם. דער ערשטער ווערט איז געפֿונען נאָר. די רגע אַ ביסל האַרדער.

מיר וועט האָבן צו געדענקען די פּיטהאַגאָרעאַן טעאָרעם און באַטראַכטן אַ רעכט דרייַעק. עס איז געגרינדעט דורך די הייך פון די פּיראַמיד און אַפּאָטהעם, וואָס איז די היפּאָטענוסע. די רגע פוס איז האַלב די זייַט פון די קוואַדראַט, ווי אַ פּאַליכידראַן הייך Falls אין די מיטל פון עס.

פאַוואָרעד אַפּאָטהעם (די היפּאָטענוסע פון אַ רעכט דרייַעק) איז גלייַך צו √ (מערץ ² + 4 ²⁾ = 5 (סענטימעטער).

איצט עס איז מעגלעך צו רעכענען די געבעטן ווערט: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (סענטימעטער ^2).

ענטפֿערן. 96 סענטימעטער ^2.

פּראָבלעם № 4

צושטאַנד. דאַנאַ רעגולער כעקסאַגאַנאַל פּיראַמיד. די זייטן פון זייַן באַזע גלייַך צו 22 מם, די לאַטעראַל עדזשאַז - 61 מם. וואָס איז די געגנט פון די לאַטעראַל ייבערפלאַך פון דעם פּאַליכידראַן?

באַשלוס. די ריזאַנינג אין עס זענען די זעלבע ווי דיסקרייבד אין די אַרבעט №2. בלויז די פּיראַמיד איז געגעבן עס צו די קוואַדראַט אין די באַזע, און איצט עס איז אַ כעקסאַגאַן.

דער ערשטער שריט איז קאַלקיאַלייטיד דורך די באַזע געגנט פון די אויבן פאָרמולע ^{(6 * 22 2) / (} 4 * טג (180º / 6)) = 726 / (טג30º) = 726√3 ^{קמ 2.}

איצט איר דאַרפֿן צו געפינען האַלב-פּערימעטער פון אַ ייסאָסאַליז דרייַעק, וואָס איז אַ זייַט פּנים. (22 + 61 * 2) :. = 72 סענטימעטער 2 בלייבט אויף העראָן ס פאָרמולע צו רעכענען די געגנט פון יעדער פון די דרייַעק, און דעמאָלט מערן עס דורך זעקס פאַרלייגן און דער איינער וואָס זיך אויס צו די באַזע.

חשבונות אויף העראָן ס פאָרמולע: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 סענטימעטער ^2. די חשבונות אַז וועט צושטעלן לאַטעראַל ייבערפלאַך געגנט: 660 * 6 = 3960 סענטימעטער ^2. עס בלייבט צו לייגן זיי אַרויף צו געפינען אויס די גאנצע ייבערפלאַך: 5217,47≈5217 סענטימעטער ^2.

ענטפֿערן. גראָונדס - 726√3 סענטימעטער ^2, די זייַט ייבערפלאַך - 3960 סענטימעטער ^2, די גאנצע געגנט - 5217 סענטימעטער ^2.