די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון אַ דרייַעק. די טעאָרעם אויף די סאַכאַקל פון אַנגלעס פון אַ דרייַעק

די דרייַעק איז אַ פילעק ווייל דרייַ זייטן (דרייַ אַנגלעס). רובֿ אָפֿט, די טייל דינאָוטאַד דורך קליין אותיות קאָראַספּאַנדינג קאַפּיטאַל אותיות, וואָס פאָרשטעלן פאַרקערט ווערטיסעס. אין דעם אַרטיקל מיר נעמען אַ קוק אין די טייפּס פון דזשיאַמעטריק שאַפּעס, טעאָרעם, וואָס דעפינעס וואָס איז גלייַך צו די סאַכאַקל פון אַנגלעס פון אַ דרייַעק.

טייפּס גרעסטן אַנגלעס

די ווייַטערדיק טייפּס פון פילעק מיט דרייַ ווערטיסעס:

• אַקוטע-אַנגגאַלד, אין וואָס אַלע די אַנגלעס זענען שאַרף;
• רעקטאַנגגיאַלער ווייל איינער רעכט ווינקל, די זייַט מאָלדינג עס, רעפעררעד צו די לעגס, און די זייַט וואָס איז דיספּאָוזד פאַרקערט צו די רעכט ווינקל איז האָט גערופֿן דעם היפּאָטענוסע;
• אַבטוס ווען איינער ווינקל איז אַבטוס ;
• ייסאָסאַליז, וועמענס צוויי זייטן זענען גלייַך, און זיי זענען גערופֿן לאַטעראַל, און די דריט - אַ דרייַעק מיט אַ באַזע;
• עקווילאַטעראַל ווייל דרייַ גלייַך זייטן.

פּראָפּערטיעס

אַללאָקאַטע די גרונט פּראָפּערטיעס וואָס זענען כאַראַקטעריסטיש פון יעדער טיפּ פון דרייַעק:

• פאַרקערט די גרעסטע זייַט איז שטענדיק גרעסער ווינקל, און וויצע ווערסאַ;
• זענען גלייַך אַנגלעס אַנטקעגן די גלייַך-גרעסטן פּאַרטיי, און וויצע ווערסאַ;
• אין קיין דרייַעק האט צוויי אַקוטע אַנגלעס;
• ויסווייניקסט ווינקל גרעסער ווי קיין ינערלעך ווינקל ניט שכייניש טהערעטאָ;
• די סאַכאַקל פון קיין צוויי אַנגלעס איז שטענדיק ווייניקער ווי 180 דיגריז;
• יקסטיריער ווינקל יקוואַלז די סאַכאַקל פון די אנדערע צוויי עקן, וואָס זענען נישט מעזשויוט מיט אים.

די טעאָרעם אויף די סאַכאַקל פון אַנגלעס פון אַ דרייַעק

די טעאָרעם שטאַטן אַז אויב איר לייגן אַרויף אַלע די עקן פון די דזשיאַמעטריק פאָרעם, וואָס איז ליגן אין די עוקלידעאַן פלאַך, דעריבער זייער סאַכאַקל וועט זיין 180 דיגריז. זאל ס פּרובירן צו באַווייַזן דעם טעאָרעם.

לאָזן מיר האָבן אַ אַרבאַטרערי דרייַעק מיט ווערטיסעס קמן. אַריבער די שפּיץ פון עם וועט האַלטן אַ דירעקט פּאַראַלעל צו די שורה קן (אַפֿילו דעם שורה איז גערופֿן Euclid). עס זאָל זיין אנגעוויזן פונט א אַזוי אַז די פּוינץ ק און א זענען עריינדזשד פֿון פאַרשידענע זייטן פון די שורה מן. מיר באַקומען די זעלבע ווינקל פון אַמס און מוף, וואָס, ווי די ינלענדיש, ליגן קראָססוויסע צו פֿאָרמירן ינערסעקטינג מן אין קאַנדזשאַנגקשאַן מיט דירעקט קן און מאַ, וואָס זענען פּאַראַלעל. פון דעם עס גייט אַז די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון די דרייַעק, ליגן אין די ווערטיסעס פון ב און ן איז גלייַך צו די גרייס פון די קמאַ ווינקל. אַלע דרייַ אַנגלעס צונויפשטעלנ זיך פון אַ סאַכאַקל גלייַך צו די סאַכאַקל פון אַנגלעס פון קמאַ און MCS. זינט די דאַטע זענען ינערלעך אַנגלעס קאָרעוו סיידאַד פּאַראַלעל שורות קל און סענטימעטער מאַ ביי ינערסעקטינג, זייער סאַכאַקל איז 180 דיגריז. דאס פּראָוועס די טעאָרעם.

רעזולטאַט

פון די אויבן די אויבן טעאָרעם ימפּלייז די ווייַטערדיק קאָראָללאַרי: יעדער דרייַעק האט צוויי אַקוטע אַנגלעס. צו באַווייַזן דעם, לאָזן אונדז יבערנעמען אַז דעם דזשיאַמעטריקאַל פיגור האט בלויז איין אַקוטע ווינקל. איר קענען אויך יבערנעמען אַז גאָרניט פון די עקן זענען נישט שאַרף. אין דעם פאַל עס מוזן זיין אין מינדסטער צוויי אַנגלעס, די מאַגנאַטוד פון וואָס איז גלייַך צו אָדער גרעסער ווי 90 דיגריז. אבער דעמאָלט די סאַכאַקל פון די אַנגלעס איז גרעסער ווי 180 דיגריז. אבער דעם קענען ניט זיין, ווי לויט צו די טעאָרעם סאַכאַקל אַנגלעס פון אַ דרייַעק איז גלייַך צו 180 ° - ניט מער, ניט ווייניקער. אַז ס וואָס האט צו זיין פּרוווד.

פאַרמאָג אַרויס עקן

וואָס איז די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון אַ דרייַעק, וואָס זענען פונדרויסנדיק? די ענטפער צו דעם קשיא קענען זיין באקומען דורך אַפּלייינג איינער פון צוויי וועגן. דער ערשטער איז אַז איר דאַרפֿן צו געפֿינען די סאַכאַקל פון די אַנגלעס, וואָס זענען גענומען איינער אין יעדער ווערטעקס, וואָס איז, דרייַ אַנגלעס. די רגע ימפּלייז אַז איר דאַרפֿן צו געפֿינען די סאַכאַקל פון די זעקס אַנגלעס אין די ווערטיסעס. צו האַנדלען מיט די אָנהייב פון דער ערשטער עמבאַדימאַנט. אזוי, דער דרייַעק כּולל זעקס ויסווייניקסט עקן - אין די שפּיץ פון יעדער פון די צוויי. יעדער פּאָר האט גלייַך אַנגלעס צווישן זיך, זינט זיי זענען ווערטיקאַל:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

אין דערצו, עס איז באקאנט אַז די ויסווייניקסט ווינקל פון אַ דרייַעק יקוואַלז די סאַכאַקל פון די צוויי ינלענדיש, וואָס זענען נישט מעזשויוציאַ מיט אים. דעריבער,

∟1 = ∟אַ, + ∟ס, ∟2 = ∟אַ, + ∟וו, ∟3 = ∟וו, + ∟ס.

פון דעם עס אויס אַז די סאַכאַקל פון די יקסטיריער אַנגלעס, וואָס זענען גענומען איינער דורך איינער לעבן יעדער ווערטעקס וועט זיין גלייַך צו:

∟1, + ∟2, + ∟3 = ∟אַ + + ∟ס ∟אַ ∟וו + + + ∟וו ∟ס = 2 רענטגענ (∟אַ, + ∟וו ∟ס +).

געגעבן די פאַקט אַז די סאַכאַקל פון די אַנגלעס יקוואַלז 180 דיגריז, עס קענען זיין אַרגיוד אַז ∟אַ, + ∟וו ∟ס = + 180 °. דעם מיטל אַז ∟1, + ∟2, + ∟3 = 2 רענטגענ 180 ° = 360 °. אויב די רגע אָפּציע איז געניצט, די סאַכאַקל פון די זעקס אַנגלעס וועט זיין קאָראַספּאַנדינגלי גרעסער צוויי מאָל. ד"ה די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון אַ דרייַעק אַרויס וועט זיין:

∟1, + ∟2, + ∟3, + ∟4, + ∟5, + ∟6 = 2 רענטגענ (∟1, + ∟2, + ∟2) = 720 °.

רעכט דרייַעק

וואָס איז גלייַך צו די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון אַ רעכט דרייַעק, איז די אינזל? די ענטפער איז, ווידער, פֿון טהעאָרעם, וואָס שטאַטן אַז די אַנגלעס פון אַ דרייַעק לייגן אַרויף צו 180 דיגריז. א געזונט אונדזער באַשטעטיקן (פאַרמאָג) ווי גייט: אין אַ רעכט דרייַעק שאַרף אַנגלעס לייגן אַרויף צו 90 דיגריז. מיר באַווייַזן זייַן וועראַסיטי. זאל עס זיין געגעבן דרייַעק קמן, וואָס ∟ן = 90 °. עס איז נייטיק צו באַווייַזן אַז ∟ק ∟ם = + 90 °.

אזוי, לויט צו די טעאָרעם אויף די סאַכאַקל פון די אַנגלעס ∟ק, + ∟ם ∟ן, + = 180 °. אין דעם צושטאַנד עס איז געזאגט אַז ∟ן = 90 °. עס טורנס אויס ∟ק ∟ם + + 90 ° = 180 °. אַז איז ∟ק ∟ם, + = 180 ° - 90 ° = 90 °. אַז ס וואָס מיר דארף צו באַווייַזן.

אין דערצו צו די אויבן פּראָפּערטיעס פון אַ רעכט דרייַעק, איר קענען לייגן די:

• אַנגלעס, וואָס ליגן קעגן די לעגס זענען שאַרף;
• די היפּאָטענוסע פון די טרייאַנגגיאַלער גרעסער ווי קיין פון די לעגס;
• די סאַכאַקל פון די לעגס מער ווי די היפּאָטענוסע;
• פוס פון די דרייַעק, וואָס ליגט פאַרקערט צו די ווינקל פון 30 דיגריז, העלפט פון די היפּאָטענוסע, אַז איז גלייַך צו זייַן האַלב.

ווי אן אנדער פאַרמאָג פון די דזשיאַמעטריק פאָרעם קענען זיין אונטערשיידן פּיטהאַגאָרעאַן טעאָרעם. זי טענהט אַז אין אַ דרייַעק מיט אַ ווינקל פון 90 דיגריז (רעקטאַנגגיאַלער), די סאַכאַקל פון די סקווערז פון די לעגס יקוואַלז די קוואַדראַט פון די היפּאָטענוסע.

די סאַכאַקל פון אַנגלעס פון אַ ייסאָסאַליז דרייַעק

פריער מיר געזאגט אַז אַ ייסאָסאַליז דרייַעק איז אַ פילעק מיט דרייַ ווערטיסעס, מיט צוויי גלייַך זייטן. דעם פאַרמאָג איז באקאנט דזשיאַמעטריקאַל געשטאַלט: די אַנגלעס ביי זייַן באַזע גלייַך. זאל אונדז באַווייַזן דעם.

נעמען די דרייַעק קמן, וואָס איז ייסאָסאַליז, סק - זייַן באַזע. מיר זענען required צו באַווייַזן אַז ∟ק = ∟ן. אַזוי, לאָזן אונדז יבערנעמען אַז מאַ - קמן איז די ביסעקטאָר פון אונדזער דרייַעק. יקאַ דרייַעק מיט דער ערשטער צייכן פון יקוואַלאַטי איז דרייַעק מנאַ. ניימלי, דורך כייפּאַטאַסאַס געגעבן אַז סענטימעטער = נם, מאַ איז אַ פּראָסט זייַט, ∟1 = ∟2, ווייַל מאַ - דעם ביסעקטאָר. ניצן די יקוואַלאַטי פון די צוויי טרייאַנגגאַלז, איינער קען טייַנען אַז ∟ק = ∟ן. בכן, די טעאָרעם איז פּרוווד.

אבער מיר זענען אינטערעסירט אין, וואָס איז די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון אַ דרייַעק (ייסאָסאַליז). ווייַל אין דעם רעספּעקט עס טוט נישט האָבן זייַן פֿעיִקייטן, מיר וועלן אָנהייבן פֿון די טעאָרעם דיסקאַסט ביז אַהער. אַז איז, מיר קענען זאָגן אַז ∟ק, + ∟ם ∟ן, + = 180 °, אָדער 2 רענטגענ ∟ק ∟ם, + = 180 ° (ווי ∟ק = ∟ן). דעם וועט ניט באַווייַזן די פאַרמאָג, ווי די טעאָרעם אויף די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון אַ דרייַעק איז פּרוווד פריער.

חוץ די געהאלטן פּראָפּערטיעס פון די עקן פון אַ דרייַעק, עס זענען אויך אַזאַ וויכטיק סטייטמאַנץ:

• אין אַ עקווילאַטעראַל דרייַעק הייך, וואָס האט שוין לאָוערד צו די באַזע, איז סיימאַלטייניאַסלי די מידיאַן ביסעקטאָר פון די ווינקל וואָס איז צווישן די גלייַך זייטן און דעם אַקס פון סימעטריע פון זייַן באַזע;
• מידיאַן (ביסעקטאָר, הייך), וואָס זענען געהאלטן צו די זייטן פון אַ דזשיאַמעטריק פיגור, זענען גלייַך.

עקווילאַטעראַל דרייַעק

עס איז אויך באקאנט ווי די רעכט, איז די דרייַעק, וואָס זענען גלייַך צו אַלע פּאַרטיעס. און דעריבער אויך גלייַך און אַנגלעס. יעדער פון זיי איז 60 דיגריז. זאל אונדז באַווייַזן דעם פאַרמאָג.

זאל אונדז יבערנעמען אַז מיר האָבן אַ דרייַעק קמן. מיר וויסן אַז קילאמעטער = הם = ך. דעם מיטל אַז, לויט צו די פאַרמאָג פון די אַנגלעס ליגן אין די באַזע אין אַ עקווילאַטעראַל דרייַעק ∟ק = ∟ם = ∟ן. זינט, לויט צו די סאַכאַקל פון אַנגלעס פון אַ דרייַעק טעאָרעם ∟ק, + ∟ם ∟ן, + = 180 °, דעמאָלט רענטגענ 3 = 180 ° ∟ק אָדער ∟ק = 60 °, ∟ם = 60 °, ∟ן = 60 °. אזוי, דער באַשטעטיקן איז פּרוווד. ווי געזען פון די אויבן זאָגן באזירט אויף די אויבן טעאָרעם, די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון אַ עקווילאַטעראַל דרייַעק, ווי די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון קיין אנדערע דרייַעק איז 180 דיגריז. ווידער פּראָווינג דעם טעאָרעם איז ניט נייטיק.

עס זענען נאָך עטלעכע פּראָפּערטיעס כאַראַקטעריסטיש פון אַ עקווילאַטעראַל דרייַעק:

• מידיאַן ביסעקטאָר הייך אין אַ דזשיאַמעטריקאַל פיגור יידעניקאַל, און זייער לענג איז קאַלקיאַלייטיד ווי (אַ רענטגענ √3): 2;
• אויב דעם פילעק סירקומסקריבינג די קרייַז, דעמאָלט דער ראַדיוס וועט זיין גלייַך צו (אַ רענטגענ √3): 3;
• אויב ינסקרייבד אין אַ קרייַז עקווילאַטעראַל דרייַעק, זייַן ראַדיוס וואָלט זיין (אַ רענטגענ √3): 6;
• געגנט פון די דזשיאַמעטריק פיגור איז קאַלקיאַלייטיד דורך די פאָרמולע: (אַ 2 רענטגענ √3): 4.

אַבטוס דרייַעק

דורך דעפֿיניציע, אַ אַבטוס-אַנגגאַלד דרייַעק, איינער פון זייַן עקן איז צווישן 90 צו 180 דיגריז. אָבער געגעבן די פאַקט אַז די אנדערע צוויי אַנגלעס פון די דזשיאַמעטריק פאָרעם שאַרף, עס קענען זיין קאָנקלודעד אַז זיי טאָן ניט יקסיד 90 דיגריז. דעריבער, די סאַכאַקל פון די אַנגלעס פון אַ דרייַעק טעאָרעם אַרבעט אין קאַלקיאַלייטינג די סאַכאַקל פון די אַנגלעס אין אַ אַבטוס דרייַעק. אַזוי, מיר קענען בעשאָלעם זאָגן, באזירט אויף די אויבן טעאָרעם אַז די סאַכאַקל פון די אַבטוס אַנגלעס פון אַ דרייַעק איז 180 דיגריז. ווידער, דעם טעאָרעם טוט ניט דאַרפֿן צו שייַעך-דערווייַז.