באַשרייַבונג פון די אַלגעבראַ פון האַרמאָניע. דער באַנד פון אַ קויל

די וועלט אַרום אונדז, טראָץ דעם פאַרשיידנקייַט פון אַבדזשעקס און דערשיינונגען געשעעניש צו זיי, פול פון האַרמאָניע דאַנק צו אַ קלאָר ווירקונג פון די געזעצן פון נאַטור. הינטער די קלאָר פרייַהייַט מיט וואָס נאַטור דראָז די אַוטליינז און קריייץ די Forms פון זאכן זענען פאַרבאָרגן קלאָר כּללים און געזעצן, ינוואַלאַנטעראַלי סאַגדזשעסץ דער געדאַנק פון די בייַזייַן אין דעם פּראָצעס פון בנין עטלעכע מין פון העכער מאַכט. אויף דער גרענעץ פון אַ פּראַגמאַטיק וויסנשאַפֿט, געבן אַ באַשרייַבונג פון די דערשיינונגען פון דער פּערספּעקטיוו פון מאַטאַמאַטיקאַל פאָרמולאַס און טהעאָסאָפיקאַל וואָרלדוויעוו, עס איז אַ וועלט, געבן אונדז אַ גאַנץ בינטל פון ימאָושאַנז און ימפּרעססיאָנס פון פילונג זייַן זאכן און געשעענישן געשעעניש צו זיי.

פּילקע ווי אַ דזשיאַמעטריק פיגור איז די מערסט פּראָסט פאָרעם אין נאַטור צו גשמיות ללבער. רובֿ פון די ללבער פון די מאַקראָקאָסם און מייקראַקאַזאַם זענען ספעריקאַללי שייפּט, אָדער זוכן צו באַקומען נעענטער צו אַז. עססענטיאַללי, די פּילקע איז אַ משל פון די ידעאַל פאָרעם. די בכלל אנגענומען דעפֿיניציע פֿאַר די פּילקע איז באטראכט צו זיין ווי גייט: די דזשיאַמעטריק גוף, אַ פּלוראַליטעט פון (פּלוראַליטעט) פון אַלע ווייזט פון וואָס זענען אין אַ דיסטאַנסע פֿון דעם צענטער אַז טוט נישט יקסיד די ספּעסיפיעד ווערט. אין דזשיאַמאַטרי, די דיסטאַנסע האט שוין גערופֿן דעם ראַדיוס, און מיט דערמאָנען צו דעם געשטאַלט, עס איז גערופֿן אַ קויל פון ראַדיוס. אין אנדערע ווערטער, אין די ענקלאָוזד באַנד פון אַ קויל אַלע ווייזט ליגנעריש אין אַ דיסטאַנסע פֿון דעם צענטער, ניט יקסידינג די לענג פון די ראַדיוס.

פּילקע נאָך געהאלטן ווי אַ רעזולטאַט פון ראָוטיישאַן פון אַ סעמיסירקלע אַרום זייַן דיאַמעטער, וואָס אַזוי בלייבט סטיישאַנערי. אזוי אַזאַ יסודות און קעראַקטעריסטיקס ווי די ראַדיוס און באַנד פון די פּילקע, די פּילקע אַקס איז צוגעגעבן (פאַרפעסטיקט דיאַמעטער), און די ענדס פון די פּילקע זענען גערופֿן פּויליש. די ייבערפלאַך פון אַ קויל גערופֿן אַ קויל. אויב איר זענט דילינג מיט אַ פֿאַרמאַכט פּילקע, ער כולל דעם געגנט, אויב עפענען, עס ילימאַנייץ עס.

קאָנסידערינג אַדישנאַלי פֿאַרבונדן מיט די לעגיטימאַציע פון די פּילקע, עס זאָל זיין האט געזאגט וועגן די קאַטינג פלאַך. פּאַסינג דורך די צענטער פון די פּילקע קאַטינג פלאַך איז גערופֿן אַ גרויס קרייַז. פֿאַר אנדערע, די פלאַך סעקשאַנז פון אַ קויל געמאכט צו צולייגן דעם טערמין "קליין קרייזן". ווען קאַלקיאַלייטינג די געגנט פון די קרייַז-סעקשאַנז געניצט פאָרמולע πר².

קאַלקיאַלייטינג די באַנד פון אַ קויל, מאַטאַמאַטישאַנז פאַסעד מיט אַ גאַנץ יקסייטינג לאָז און פֿעיִקייטן. עס אויסגעדרייט אויס אַז דעם ווערט אָדער ריפּיץ אָדער איז זייער ענלעך צו דעם אופֿן פֿאַר דיטערמאַנינג די באַנד פון אַ פּיראַמיד אָדער אַ צילינדער סירקומסקריבינג די פּילקע. עס טורנס אויס אַז דער באַנד פון די קויל איז גלייַך צו דעם באַנד פון דער פּיראַמיד, אויב עס האט די זעלבע באַזע געגנט ווי די ייבערפלאַך פון די פּילקע, און די הייך גלייַך צו די ראַדיוס פון די פּילקע. אויב מיר באַטראַכטן אַ קויל סירקומסקריבינג צילינדער, עס איז מעגלעך צו רעכענען די מוסטער לויט צו וואָס די באַנד פון אַ קויל איז ווייניקער ווי די באַנד פון אַ צילינדער אין האַלב.

עס קוקט אַטראַקטיוו און אָריגינעל אופֿן פֿאַר די אָפּקומעניש פון אַ קויל פון באַנד ניצן די Cavalieri פּרינציפּ. ער איז צו געפֿינען דעם באַנד פון קיין געשטאַלט דורך אַדינג די געגנט באקומען זייַן קרייַז אָפּטיילונג אַ Infinite נומער פון פּאַראַלעל פּליינז. צו רעזולטאַט נעמען האַלבקייַלעך פון ראַדיוס ר און אַ פאַס בעת אַ הייך-ר מיט אַ באַזע קרייַז ראַדיוס ר (די באַזע פון די האַלבקייַלעך און צילינדער זענען אין די זעלבע פלאַך). אין די צילינדער ייַנשרייַבן אַ שישקע מיט ווערטעקס אין דעם צענטער פון די דנאָ פון זייַן באַזע. פּראָווינג אַז דער באַנד פון די האַלבקייַלעך און דעם צילינדער לינקס אויס פון די שישקע זענען גרינג צו רעכענען די באַנד פון אַ קויל. פאָרמולע עס נעמט די ווייַטערדיק פאָרעם: פיר דריט פּראָדוקט פון די קוב פון ראַדיוס צו π (V = 4/3 ר ^ 3 × π). עס איז גרינג צו באַווייַזן, ווייל אַ פּראָסט קאַטינג פלאַך דורך די האַלבקייַלעך און די צילינדער. סקוואַרעס קליין קרייַז און אַננולוס באַונדאַד אויף די אַרויס זייטן פון דעם צילינדער און שישקע זענען גלייַך. און, ניצן די Cavalieri פּרינציפּ, עס איז ניט שווער צו קומען צו אַ הויפּט דערווייַז פאָרמולע דורך וואָס מיר דעפינירן די באַנד פון די קויל.

אבער עס איז נישט נאָר די פּראָבלעם פון דעם לערנען פון נאַטירלעך ללבער איז רעכט צו געפֿינען וועגן צו באַשטימען זייער פאַרשידענע קעראַקטעריסטיקס און פּראָפּערטיעס. דעם ציפער פון האַרט דזשיאַמאַטרי ווי די פּילקע איז וויידלי געניצט אין פּראַקטיש מענטש טעטיקייט. מאַסע טעכניש דיווייסאַז האט אין זייַן דעטאַילס פון קאַנסטראַקשאַן ניט בלויז אַ ספעריש פאָרעם אָבער אויך באשטייט פון שיסל עלעמענטן. עס איז אַרויף ידעאַל נאַטירלעך סאַלושאַנז אין די פּראָצעס פון מענטשלעך טעטיקייט גיט דעם העכסטן קוואַליטעט רעזולטאטן.