פּענדולום: צייַט און אַקסעלעריישאַן פון פאָרמולע

די מעטשאַניקאַל סיסטעם וואָס באשטייט פון אַ מאַטעריאַל פונט (דעם גוף), וואָס כאַנגז אויף אַ ווייטלאַס ינעקסטענסיבלע פאָדעם (זייַן מאַסע איז נעגלאַדזשאַבאַל קאַמפּערד צו די וואָג פון דעם גוף) אין אַ מונדיר גראַוויטיישאַנאַל פעלד, האָט גערופֿן דעם מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם (אן אנדער נאָמען - די אַסאַלייטער). עס זענען אנדערע טייפּס פון דיווייסאַז. אָנשטאָט אַ פאָדעם ווייטלאַס רוט קענען זיין געוויינט. פּענדולום קענען קלאר אַנטדעקן די עסאַנס פון פילע טשיקאַווע דערשיינונגען. ווען קליין אַמפּליטוד ווייבריישאַנז פון זייַן באַוועגונג איז גערופֿן האַרמאָניק.

גענעראַל אינפֿאָרמאַציע וועגן די מעטשאַניקאַל סיסטעם

די פאָרמולע פון די אַסאַליישאַן צייַט פון די פּענדזשאַלאַם איז געווען ברעד האָלענדיש געלערנטער הויגענס (1629-1695 גג.). דעם הייַנטצייַטיק פון אייזיק ניוטאן איז געווען זייער ליב די מעטשאַניקאַל סיסטעם. אין 1656 ער Created דער ערשטער וואַך מיט אַ פּענדזשאַלאַם מעקאַניזאַם. זיי האָט אָפּגעמאָסטן די צייַט מיט עקסטרעם פּינטלעכקייַט פֿאַר יענע צייטן. דעם דערפינדונג איז געווען אַ הויפּט שריט אין דער אַנטוויקלונג פון גשמיות יקספּעראַמאַנץ און פּראַקטיש אַקטיוויטעטן.

אויב די פּענדזשאַלאַם איז אין אַ יקוואַליבריאַם שטעלע (כאַנגגינג ווערטיקלי), די קראַפט פון ערלעכקייט וועט זיין באַלאַנסט דורך די יאַרן שפּאַנונג קראַפט. פלאַך פּענדזשאַלאַם אויף אַ ניט-סטרעטטשאַבלע יאַרנז איז אַ סיסטעם מיט צוויי דיגריז פון פרייַהייַט פון קאָמוניקאַציע. ווען טשאַנגינג נאָר איין קאָמפּאָנענט פון טשאַנגינג די טשאַראַקטעריסטיקס פון אַלע זייַן טיילן. למשל, אויב אַ פאָדעם איז ריפּלייסט דורך אַ רוט, דעמאָלט דעם מעטשאַניקאַל סיסטעם איז בלויז 1 גראַד פון פרייַהייַט. וואָס, דעמאָלט, די פּראָפּערטיעס פון אַ מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם? אין דעם פּשוט סיסטעם, אונטער דער השפּעה פון אַ פּעריאָדיש פּערטערביישאַן, כאַאָס אויס. אין אַז פאַל, ווען דער סאַספּענשאַן פונט איז ניט מאָווינג, און אָססיללאַטעס אַ פּענדזשאַלאַם עס איז אַ נייַ יקוואַליבריאַם שטעלע. אויב גיך פלוקטואַטיאָנס אַרויף און אַראָפּ דעם מעטשאַניקאַל סיסטעם ווערט סטאַביל שטעלע "מיטנ קאָפּ אַראָפּ." עס אויך האט זייַן נאָמען. עס איז האָט גערופֿן דעם קאַפּיטזאַ פּענדזשאַלאַם.

די פּראָפּערטיעס פון די פּענדזשאַלאַם

פּענדולום האט זייער טשיקאַווע פּראַפּערטיז. אַלע פון זיי זענען געשטיצט דורך געזונט-באקאנט גשמיות געזעצן. די צייַט פון אַסאַליישאַן פון די פּענדזשאַלאַם קיין אנדערע דעפּענדס אויף פאַרשידן צושטאנדן אַזאַ ווי די גרייס און פאָרעם פון דעם גוף, די דיסטאַנסע צווישן די פונט פון סאַספּענשאַן און דער צענטער פון ערלעכקייט, וואָג פאַרשפּרייטונג מיט רעספּעקט צו דעם פונט. אַז איז וואָס די דעפֿיניציע פון דעם גוף כאַנגגינג צייַט איז גאַנץ טשאַלאַנדזשינג. איז פיל גרינגער צו רעכענען די צייַט פון אַ פּשוט פּענדזשאַלאַם, די פאָרמולע פון וואָס איז געגעבן אונטן. ווי אַ רעזולטאַט פון אַבזערווינג די פּאַטערנז קענען זיין שטעלן אויף ענלעך מעטשאַניקאַל סיסטעמס:

• אויב, בשעת מיינטיינינג דער זעלביקער לענג פון די פּענדזשאַלאַם, סוספּענדעד פון אַ פאַרשיידנקייַט פון לאָודז, די צייַט פון די אַסאַליישאַן באַקומען די זעלבע, כאָטש זייער וואָג וועט בייַטן זייער. דעריבער, דער צייַט פון די פּענדזשאַלאַם טוט נישט אָפענגען אויף דער וואָג פון די מאַסע.

• אויב די סיסטעם סטאַרץ צו אַראָפּגיין אין די פּענדזשאַלאַם איז נישט צו גרויס, אָבער פאַרשידענע אַנגלעס, עס וועט וואַקלענ זיך מיט דער זעלביקער צייַט, אָבער אין פאַרשידענע אַמפּליטודעס. בשעת דיווייישאַנז פון דעם צענטער פון וואָג איז נישט צו גרויס פלוקטואַטיאָנס אין זייער פאָרעם וועט זיין נאָענט גענוג האַרמאָניק. די צייַט פון אַזאַ אַ פּענדזשאַלאַם טוט נישט אָפענגען אויף די וויבראַטיאָנאַל אַמפּליטוד. דעם פאַרמאָג פון די מעטשאַניקאַל סיסטעם איז גערופֿן יסאָטשראָניסם (אין גריכיש "טשראָנאָס" - צייט "יזאָסאָוו" - גלייַך).

די צייַט פון אַ פּשוט פּענדזשאַלאַם

דעם ציפער רעפּראַזענץ די נאַטירלעך צייַט פון אַסאַליישאַן. טראָץ דעם קאָמפּלעקס פאָרמולאַטיאָן, דער פּראָצעס זיך איז זייער פּשוט. אויב די לענג פון די יאַרן מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם ל, און די גראַוויטיישאַנאַל אַקסעלעריישאַן ג, דעם ווערט איז גלייַך:

ה = 2π√ל / ג

קליין צייַט פון נאַטירלעך אַסאַליישאַנז אין קיין וועג טוט נישט אָפענגען אויף די מאַסע פון די פּענדזשאַלאַם און די אַסאַליישאַן אַמפּליטוד. אין דעם פאַל, ווי אַ מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם באוועגט מיט רידוסט לענג.

אַסאַליישאַנז פון אַ מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם

מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם אָססיללאַטעס, וואָס קענען זיין דיסקרייבד דורך אַ פּשוט דיפפערענטיאַל יקווייזשאַן:

X + ω2 זינד רענטגענ = 0,

ווו רענטגענ (ה) - אומבאַקאַנט פֿונקציע (דעם ווינקל פון דעפלעקטיאָן פון דער נידעריקער שטעלע פון יקוואַליבריאַם אין די צייַט ה, אויסגעדריקט אין ראַדיאַנס); ω - אַ positive קעסיידערדיק וואָס איז באשלאסן פון די פּאַראַמעטערס פון די פּענדזשאַלאַם (ω = √ג / ל, ווו ג - די אַקסעלעריישאַן פון ערלעכקייט, און ל - די לענג פון אַ פּשוט פּענדזשאַלאַם (סאַספּענשאַן).

עקוואַטיאָן קליין אַסאַליישאַנז לעבן יקוואַליבריאַם שטעלע (האַרמאָניק יקווייזשאַן) ווי גייט:

X + ω2 זינד רענטגענ = 0

אָססיללאַטאָרי באַוועגונג פון די פּענדזשאַלאַם

פּענדולום, וואָס מאכט קליין אַסאַליישאַנז, מאָווינג סינוסאָיד. רגע סדר דיפפערענטיאַל יקווייזשאַן מיץ אַלע די רעקווירעמענץ און פּאַראַמעטערס פון אַזאַ אַ באַוועגונג. צו באַשטימען דעם דרך איר דאַרפֿן צו שטעלן די גיכקייַט און קאָואָרדאַנאַץ, וואָס שפּעטער באשלאסן זעלבשטענדיק קאַנסטאַנץ:

רענטגענ = א זינד (θ ₀ + ωט),

ווו θ ₀ - ערשט לבֿנה, א - אַמפּליטוד פון אַסאַליישאַן, ω - סייקליק אָפטקייַט באשלאסן פון די יקווייזשאַנז פון באַוועגונג.

פּענדולום (פאָרמולע פֿאַר גרויס אַמפּליטודעס)

דעם מעטשאַניקאַל סיסטעם, דורכפירן זייער אַסאַליישאַנז מיט אַ גרויס אַמפּליטוד, עס איז אונטערטעניק צו מער קאָמפּליצירט פאַרקער געזעצן. זיי זענען קאַלקיאַלייטיד לויט צו די פאָרמולע פֿאַר אַזאַ אַ פּענדזשאַלאַם:

זינד רענטגענ / 2 = ו * סן (ωט / ו),

ווו סן - סינוס דזשאַקאָבי, וואס פֿאַר ו <1 איז אַ פּעריאָדיש פונקציאָנירן, און פֿאַר קליין און עס קאָוינסיידז מיט די פּשוט טריגאָנאָמעטריק סינוס. די ווערט פון איר איז באשלאסן דורך די ווייַטערדיק אויסדרוק:

ו = (ε, + ω2) / 2ω2,

ווו ε = E / מל2 (מל2 - ענערגיע פון די פּענדזשאַלאַם).

פעסטקייַט פון נאַנליניער אַסאַליישאַן צייַט פון די פּענדזשאַלאַם דורך די ווייַטערדיק פאָרמולע:

ה = 2π / Ω,

ווו Ω = π / 2 * ω / 2 ק (ו), ק - עלליפּטיק ינטאַגראַל, π - 3,14.

די פּענדזשאַלאַם באַוועגונג פון די סעפּאַראַטריקס

עס גערופֿן סעפּאַראַטריקס טרייַעקטאָריע פון די דינאַמיש סיסטעם, אין וואָס אַ צוויי-דימענשאַנאַל לבֿנה פּלאַץ. פּענדולום באוועגט אויף אַ ניט-פּיריאַדיקלי. אין די ינפיניטעלי ווייַט פונט פון צייַט עס דראָפּס פון די עקסטרעם אויבערשטער שטעלע צו אַ נול גיכקייַט, און דעמאָלט עס איז ביסלעכווייַז גיינינג. ער יווענטשאַוואַלי סטאַפּט, אומגעקערט צו זייַן אָריגינעל שטעלע.

אויב די אַמפּליטוד פון אַסאַליישאַן פון די פּענדזשאַלאַם אַפּראָוטשיז די נומער פּי, עס איז האט געזאגט אַז די באַוועגונג אין די לבֿנה פלאַך איז נאָענט צו דער סעפּאַראַטריקס. אין דעם פאַל, אונטער דער קאַמף פון אַ קליין פּעריאָדיש דרייווינג קראַפט פון די מעטשאַניקאַל סיסטעם יגזיבאַץ כאַאָטיש נאַטור.

אין דער געשעעניש פון אַ פּשוט פּענדזשאַלאַם פון די יקוואַליבריאַם שטעלע מיט אַ ווינקל CP אַקערז טאַנגענטיאַל קראַפט פτ = -מג זינד φ ערלעכקייט. "מינוס" צייכן מיטל אַז די טאַנגענטיאַל קאָמפּאָנענט דירעקטעד אין די אַנטקעגן ריכטונג פון דער ריכטונג פון דיווייישאַן פון די פּענדזשאַלאַם. ווען רעפעררינג דורך פּענדזשאַלאַם דיספּלייסמאַנט רענטגענ צוזאמען אַ קייַלעכיק קרייַזבויגן מיט אַ ראַדיוס ל איז גלייַך צו זייַן ווינקלדיק דיספּלייסמאַנט φ = רענטגענ / ל די רגע געזעץ יסאַאַקאַ ניוטאָנאַ, דיזיינד פֿאַר פּרויעקציע פון די אַקסעלעריישאַן וועקטאָר און שטאַרקייַט געבן די געבעטן ווערט:

מג τ = פτ = -מג זינד רענטגענ / ל

באַזירט אויף דעם פאַרהעלטעניש, עס איז קלאָר אַז די פּענדזשאַלאַם איז אַ נאַנליניער סיסטעם, ווי אַ קראַפט אַז טענדז צו צוריקקומען צו זייַן יקוואַליבריאַם שטעלע, איז ניט שטענדיק פּראַפּאָרשאַנאַל צו די דיספּלייסמאַנט רענטגענ, אַ זינד רענטגענ / ל

נאָר ווען די מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם פּערפאָרמס קליין ווייבריישאַנז, עס איז אַ האַרמאָניק אַסאַלייטער. אין אנדערע ווערטער, עס ווערט אַ מעטשאַניקאַל סיסטעם טויגעוודיק פון Performing האַרמאָניק אַסאַליישאַנז. דעם אַפּראַקסאַמיישאַן איז גילטיק פֿאַר כּמעט אַנגלעס 15-20 °. פּענדולום מיט גרויס אַמפּליטודעס איז נישט כאַרמאָוניאַס.

נוטאַן ס געזעץ פֿאַר קליין אַסאַליישאַנז פון אַ פּענדזשאַלאַם

אויב די מעטשאַניקאַל סיסטעם פּערפאָרמס קליין אַסאַליישאַנז, 2 נוטאַן ס געזעץ וועט קוקן ווי דעם:

מג τ = פτ = -ם * ג / ל * רענטגענ.

אויף דעם סמך, מיר קענען פאַרענדיקן אַז די טאַנגענטיאַל אַקסעלעריישאַן פון אַ פּשוט פּענדזשאַלאַם איז פּראַפּאָרשאַנאַל צו זייַן דיספּלייסמאַנט מיט דער צייכן "מינוס". דאס איז אַ צושטאַנד ווערביי די סיסטעם ווערט אַ האַרמאָניק אַסאַלייטער. מאָדולע פּראָפּאָרטיאָנאַליטי פאַקטאָר צווישן די דיספּלייסמאַנט און די אַקסעלעריישאַן יקוואַלז די קוואַדראַט פון די ווינקלדיק אָפטקייַט:

ω02 = ג / ל; ω0 = √ ג / ל

דעם פאָרמולע רעפלעקץ די נאַטירלעך אָפטקייַט פון קליין אַסאַליישאַנז פון דעם טיפּ פון פּענדזשאַלאַם. אויף דעם סמך,

ה = 2π / ω0 = 2π√ ג / ל

חשבונות באזירט אויף די געזעץ פון קאַנסערוויישאַן פון ענערגיע

פּראָפּערטיעס אַסאַלייטינג פּענדזשאַלאַם מווומאַנץ קענען זיין דיסקרייבד מיט די הילף פון די געזעץ פון קאַנסערוויישאַן פון ענערגיע. עס זאָל זיין דערטראגן אין מיינונג אַז דער פּאָטענציעל ענערגיע פון די פּענדזשאַלאַם אין אַ גראַוויטיישאַנאַל פעלד איז:

E = מגδה = מגל (1 - קאָס α) = מגל2סינ2 α / 2

פול מעטשאַניקאַל ענערגיע יקוואַלז די קינעטיק און מאַקסימום פּאָטענציעל: עפּמאַקס = עקמסקס = E

נאָך איר האָבן געשריבן די געזעץ פון קאַנסערוויישאַן פון ענערגיע, גענומען די דעריוואַט פון די לינקס און רעכט זייטן פון די יקווייזשאַן:

עפּ, + Ek = קאָנסט

זינט די דעריוואַט פון די קאַנסטאַנץ איז גלייַך צו 0, דעמאָלט (עפּ, + Ek) '= 0. די דעריוואַט פון די סאַכאַקל יקוואַלז די סאַכאַקל פון די דעריוואַטיוועס:

עפּ '= (מג / ל * קס 2/2)' = מג / 2ל * 2 קס * רענטגענ '= מג / ל * וו, + Ek' = (מוו2 / 2) = ב / 2 (וו 2) '= ב / 2 * 2 וו * אין די '= מוו * α,

דעריבער:

מג / ל * קסוו, + מוואַ = V (מג / ל * x + עם α) = 0.

באַזירט אויף די לעצטע פאָרמולע, מיר געפינען: α = - ג / ל * רענטגענ.

פּראַקטיש אַפּלאַקיישאַן פון די מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם

אַקסעלעריישאַן פון פּאָטער פאַלן וועריז מיט ברייט, ווייַל די געדיכטקייַט פון די סקאָרינקע אַרום דעם פּלאַנעט נישט יידעניקאַל. ווו ראַקס פאַלן מיט אַ העכער געדיכטקייַט, עס וועט זיין אַ ביסל העכער. אַקסעלעריישאַן פון מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם איז אָפֿט געניצט פֿאַר עקספּלעריישאַן. אין זייַן העלפן קוקן פֿאַר פאַרשידענע מינעראַלס. סימפּלי קאַונטינג די נומער פון אַסאַליישאַנז פון אַ פּענדזשאַלאַם, עס איז מעגלעך צו דיטעקט די קוילן אָדער אַרץ אין די געדערעם פון דער ערד. דעם איז רעכט צו דעם פאַקט אַז די רעסורסן האָבן אַ געדיכטקייַט און וואָג פון מער ווי ליגנעריש ונטער דער פרייַ ראַקס.

מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם געניצט דורך אַזאַ באַוווסט געלערנטע ווי סאָקראַטעס, אַריסטאָטלע, פּלאַטאָ, פּלוטאַרטש, אַרטשימעדעס. פילע פון זיי געגלויבט אַז די מעטשאַניקאַל סיסטעם זאל השפּעה דער גורל און לעבן. אַרטשימעדעס געניצט די מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם מיט זייַן חשבונות. נאַואַדייז, פילע אָקקולטיסץ און סייקיקס נוצן דעם מעטשאַניקאַל סיסטעם פֿאַר די ימפּלאַמענטיישאַן פון זייַן פּראָפעסיעס, אָדער די זוכן פֿאַר פעלנדיק מענטשן.

די באַרימט פראנצויזיש אַסטראָנאָם און געלערנטער, פלאַממאַריאָן פֿאַר זייער פאָרשונג אויך געניצט אַ מאַטאַמאַטיקאַל פּענדזשאַלאַם. ער קליימד אַז מיט זייַן הילף ער איז געווען ביכולת צו פאָרויסזאָגן די אנטדעקונג פון אַ נייַ פּלאַנעט, די ימערדזשאַנס פון די טונגוסקאַ מיטיאָרייט, און אנדערע וויכטיק געשעענישן. בעשאַס די צווייטע וועלט מלחמה אין דייטשלאנד (בערלין) געארבעט ווי אַ ספּעשאַלייזד אינסטיטוט פון די פּענדזשאַלאַם. נאַואַדייז, אַזאַ פאָרשונג איז ניט בנימצא מינכען אינסטיטוט פון פּאַראַפּסיטשאָלאָגי. זיין אַרבעט מיט די פּענדזשאַלאַם דער שטעקן פון דעם ינסטיטושאַן גערופֿן "ראַדיעסטעזייי".